动态规划概述

  动态规划(Dynamic Programming,DP)是运筹学的一个分支,是求解决策过程最优化的过程

  动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中,可能会有许多可行解,每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。

  动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案,不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中,这就是动态规划法的基本思路。


装最多水的容器

  给你 n 个非负整数 a1,a2,...,an,每个数代表坐标中的一个点 (i, ai) 。在坐标内画 n 条垂直线,垂直线 i 的两个端点分别为 (i, ai) 和 (i, 0),找出其中的两条线,使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

  说明:你不能倾斜容器,且 n 的值至少为 2。

动态规划算法——装最多水的容器-LMLPHP

示例:

  输入:[1,8,6,2,5,4,8,3,7]

  输出:49

  说明:当容器的两边分别是8和7的时候,容器所能盛水最多,最大储水面积为:7 *(9-2)= 49。


问题分析

  本题是一道经典的面试题,最优的做法是使用「双指针」。一开始两个指针一个指向开头一个指向结尾,此时容器的底是最大的,接下来随着指针向内移动,会造成容器的底变小,在这种情况下想要让容器盛水变多,就只有在容器的高上下功夫。那我们该如何决策哪个指针移动呢?

  我们能够发现不管是左指针向右移动一位,还是右指针向左移动一位,容器的底都是一样的,都比原来减少了 1。这种情况下我们想要让指针移动后的容器面积增大,就要使移动后的容器的高尽量大,所以我们选择指针所指的高较小的那个指针进行移动,这样我们就保留了容器较高的那条边,放弃了较小的那条边,以获得有更高的边的机会。

  这里用的就是动态规划,基本的表达式: areaMax = min(height[i], height[j]) * (j - i)。


示例分析

  输入:[1,8,6,2,5,4,8,3,7]

  输出:49

求解过程如下:

动态规划算法——装最多水的容器-LMLPHP


算法实现

public class TakeInWater {

    public static void main(String[] args) {
        int[] columns = {1,8,6,2,5,4,8,3,7};
        int areaMax = maxArea(columns);
        System.out.println("最大储水量:" + areaMax);
    }

    public static int maxArea(int[] height) {
        if (height.length < 1) {        // 检验参数正确性
            return -1;
        }
        int left = 0;                    // 左指针
        int right = height.length-1;    // 右指针
        int area = 0;                    // 最大储水量
        while (left < right) {
            int high = Math.min(height[left], height[right]);    // 找到容器的储水高度
            area = Math.max(area, high*(right-left));            // 最大储水量
            // 按照最优策略,移动指针
            if (height[left] < height[right]) {
                left++;
            }else {
                right--;
            }
        }
        return area;
    }
}

运行结果:

动态规划算法——装最多水的容器-LMLPHP

10-25 13:54