概念
- 零概率问题：在计算事件的概率时，如果某个事件在观察样本库（训练集）中没有出现过，会导致该事件的概率结果是 $0$ 。这是不合理的，不能因为一个事件没有观察到，就被认为该事件一定不可能发生（即该事件的概率为 $0$ ）。
拉普拉斯平滑(Laplacian smoothing) 是为了解决零概率的问题。
- 法国数学家 拉普拉斯 最早提出用 加 $1$ 的方法，估计没有出现过的现象的概率。
- 理论假设：假定训练样本很大时，每个分量 $x$ 的计数加 $1$ 造成的估计概率变化可以忽略不计，但可以方便有效的避免零概率问题
具体公式
对于一个随机变量 $\mathrm{z} $ , 它的取值范围是 $\{1,2,3 \ldots, \mathrm{k}\} $, 对于 $\mathrm{m} $ 次试验后的观测 结果 $ \left\{\mathrm{z}^{(1)}, \mathrm{z}^{(2)}, \mathrm{z}^{(3)}, \ldots, \mathrm{z}^{(\mathrm{m})}\right\} $, 极大似然估计按照下式计算:
$\varphi_{j}=\frac{\sum_{i=1}^{m} I\left\{z^{(i)}=j\right\}}{m}$
使用 Laplace 平滑后, 计算公式变为:
$\varphi_{j}=\frac{\sum_{i=1}^{m} I\left\{z^{(i)}=j\right\}+1}{m+\mathrm{k}}$
即在分母上加上取值范围的大小, 在分子加 $1$ 。
总结: 分子加一，分母加 $K$，$K$ 代表类别数目。
应用场景举例
假设在文本分类中，有 $3$ 个类：$C_1$、$C_2$、$C_3$
在指定的训练样本中，某个词语 $K_1$ ，在各个类中观测计数分别为 $0$，$990$，$10$。
则对应 $K_1$ 的概率为 $0，0.99，0.01$。
显然 $C_1$ 类中概率为 $0$，不符合实际。
于是对这三个量使用拉普拉斯平滑的计算方法如下：
$1/1003 = 0.001$，$991/1003=0.988$，$11/1003=0.011$
在实际的使用中也经常使用加 $λ$（$0≤λ≤1$）来代替简单加 $1$。如果对 $N$个计数都加上 $λ$，这时分母也要记得加上 $N*λ$。