在涉及到前端图形学的时候，几乎避免不了 transform 属性的应用。
而 transform 一共内置了五种不同大类的函数（矩阵变形、平移、缩放、旋转、倾斜，具体细节有九个），开发者经常容易被不同函数的组合变换，搞到晕头转向。
当面对需要精准定位的需求时，如果对 transform 的计算原理理解不透彻，就会导致代码冗长、复杂度增加，易读性也会迅速下降。
事实上，前端里的 transform 有很多种，比如 CSS 和 SVG 中的 transform 属性就有些许不同。不过万变不离其宗，它们底层的数学原理大体是一致的。
所以为了方便描述，本篇这里以 SVG transform 为主。
一来，可以免去 CSS 中大量关于单位不同的换算，排开很多跟原理无关的细节；
二来，作为矢量格式的 SVG 足够精简，用来描述数学计算方式，矢量化参数拥有天生的优势；
① transform: matrix(a, b, c, d, e, f)
说到图形学，那必然会涉及到矩阵运算。
matrix 函数可以说是最本源的存在，如果将前端页面想象成一块画布，matrix 就是这块画布的改造者。只需要设定不同的参数，就可以用 matrix 将图形随意变换。
同时，matrix 函数还是其他四类功能函数的核心，这四类分别是平移、缩放、旋转、倾斜，他们的实现方式都可以用 matrix 等价替换。
matrix 函数的参数是一个 3x3 的方阵矩阵，只不过这个矩阵中只有六个变量，所以函数声明里显式的参数列表长度为 6。
矩阵形式如下（假设为 M）：
$$M =\begin{pmatrix}a & c & e \\b & d & f \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}$$
怎么用呢？
答案是：矩阵乘法
假设页面上有一个点 point_old 的坐标为 (oldX, oldY)，转换后新的点 point_new 坐标为 (newX, newY)。
在运算过程中，点的矩阵描述方式如下：
$$point_{old} =\begin{pmatrix}oldX \\oldY \\1\end{pmatrix}\\point_{new} =\begin{pmatrix}newX \\newY \\1\end{pmatrix}$$
计算方式为：
$$point_{new} = M * point_{old}$$
$$\begin{pmatrix}newX \\newY \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & c & e \\b & d & f \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}oldX \\oldY \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a*oldX+c*oldY+e \\b*oldX+d*oldY+f \\1 \\\end{pmatrix}$$
所以：
$$point_{new}\begin{cases}newX = a*oldX + c*oldY + e \\newY = b*oldX + d*oldY + f \\\end{cases}$$
在这六个参数中，e、f 主要负责偏移量，其余 a、b、c、d 则代表不同的放大倍数。
现在我们知道，可以通过对这六个参数的控制，实现不同的效果了。
比如默认状态下，matrix(1, 0, 0, 1, 0, 0) 代表了什么也不动，因为套用上述计算公式，
$$\begin{pmatrix}newX \\newY \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}oldX \\oldY \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1*oldX+0*oldY+0 \\0*oldX+1*oldY+0 \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}oldX \\oldY \\1 \\\end{pmatrix}$$
结果可以发现，点坐标没有任何变换。
到这里，transform 的核心函数 matrix() 是如何计算的，应该已经清楚了。
那么接下来看看剩下其他所有的函数是如何实现和 matrix 转换的。
<h1>default</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9"></rect>
</svg>② transform: translate(x)
translate 为平移函数，当只有一个参数时，表示图形水平移动了多少的距离。
即：
$$newX = x + oldX$$
那么很简单的，构造矩阵 matrix(1, 0, 0, 1, x, 0) 即可实现 translate(x) 的效果：
$$\begin{pmatrix}newX \\newY \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 & x \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}oldX \\oldY \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1*oldX+0*oldY+x \\0*oldX+1*oldY+0 \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x + oldX\\oldY \\1 \\\end{pmatrix}$$
<div>
<h1>transform: translate(x)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="translate(100)"></rect>
</svg>
<h1>transform: matrix(1, 0, 0, 1, x, 0)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(1,0,0,1,100,0)"></rect>
</svg>
</div>③ transform: translate(x, y)
这里可以看做单一参数的 translate 函数的重载函数，第二个参数 y 值，代表在笛卡尔坐标系下的二维平面中，y 轴方向的平移运动。
即：
$$\begin{cases}newX = x + oldX \\newY = y + oldY\end{cases}$$
同理，可构造矩阵 matrix(1, 0, 0, 1, x, y) 实现 translate(x, y) 的效果：
$$\begin{pmatrix}newX \\newY \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 & x \\0 & 1 & y \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}oldX \\oldY \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1*oldX+0*oldY+x \\0*oldX+1*oldY+y \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x + oldX \\y + oldY \\1 \\\end{pmatrix}$$
<div>
<h1>transform: translate(x, y)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="translate(100,50)"></rect>
</svg>
<h1>transform: matrix(1, 0, 0, 1, x, y)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(1,0,0,1,100,50)"></rect>
</svg>
</div>④ transform: scale(s)
scale 为缩放函数，当只有一个参数时，表示图形在水平和纵向两个轴上，实现等比例的放大缩小。
即：
$$\begin{cases}newX = s*oldX \\newY = s*oldY\end{cases}$$
由于这里是成比例放大，所以可得变换矩阵 matrix(s, 0, 0, s, 0, 0)：
$$\begin{pmatrix}newX \\newY \\1 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s & 0 & 0 \\0 & s & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}oldX \\oldY \\1 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s*oldX+0*oldY+0 \\0*oldX+s*oldY+0 \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}s*oldX \\s*oldY \\1 \\\end{pmatrix}$$
<div>
<h1>transform: scale(s)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="scale(2)"></rect>
</svg>
<h1>transform: matrix(s, 0, 0, s, 0, 0)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(2,0,0,2,0,0)">
</rect>
</svg>
</div>⑤ transform: scale(sx, sy)
这里同样的，也是拥有两个参数的重载函数，由此可以分开控制不同轴向的缩放倍率。
即：
$$\begin{cases}newX = sx*oldX \\newY = sy*oldY\end{cases}$$
同理可得变换矩阵 matrix(sx, 0, 0, sy, 0, 0)：
$$\begin{pmatrix}newX \\newY \\1 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}sx & 0 & 0 \\0 & sy & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}oldX \\oldY \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}sx*oldX+0*oldY+0 \\0*oldX+sy*oldY+0 \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}sx*oldX \\sy*oldY \\1 \\\end{pmatrix}$$
<div>
<h1>transform: scale(sx, sy)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="scale(0.5,2)"></rect>
</svg>
<h1>transform: matrix(sx, 0, 0, sy, 0, 0)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(0.5,0,0,2,0,0)"></rect>
</svg>
</div>⑥ transform: rotate(a)
rotate 为旋转函数，当参数个数为 1 时，表示以当前元素坐标系原点为旋转点，旋转角度为 a 度。
需要提前注意的是，这里的单位为 deg，角度制。
而在接下来换算成 matrix 的过程中，需要用到三角函数。
所以在数值上，需要将角度制，转换成弧度制：
$$a'=\frac{\pi}{180}*a$$
此外，由于在二维平面旋转运动下，任意点到旋转圆心的距离不变。所以为了方便计算，我们在这里使用极坐标系，推导笛卡尔坐标系下物体运动的方式。
根据极坐标系，我们用有序数对 (ρ, θ) 表示任意点 P 的坐标，ρ 代表极径，θ** 代表极角（弧度制）。
记为 P(ρ, θ)
那么，任意点旋转 a 角度（a' 弧度）后的坐标即为：P(ρ, θ + a')**
利用坐标系间的映射关系：
$$\begin{cases}X = \rho*cos(\theta) \\Y = \rho*sin(\theta) \\\end{cases}$$
可得：
$$newP = oldP(\rho,\theta + a')$$
$$\begin{cases}newX = \rho*cos(\theta+a') \\newY = \rho*sin(\theta+a') \\\end{cases}$$
进一步展开可得：
$$\begin{aligned}newX &= \rho*cos(\theta+a') \\ &= \rho*cos(\theta)*cos(a')-\rho*sin(\theta)*sin(a') \\ &= oldX*cos(a')-oldY*sin(a') \\ &= cos(a')*oldX + (-1)*sin(a')*oldY \\\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}newY & = \rho*sin(\theta+a') \\ & = \rho*sin(\theta)*cos(a')+\rho*cos(\theta)*sin(a') \\ & = oldY * cos(a') + oldX * sin(a') \\ & = sin(a') * oldX + cos(a') * oldY\end{aligned}$$
根据上式，可以推出变换矩阵为 matrix(cos(a'), sin(a'), -sin(a'), cos(a'), 0, 0)
$$\begin{aligned}\begin{pmatrix}newX \\newY \\1 \\\end{pmatrix}& =\begin{pmatrix}cos(a') & -sin(a') & 0 \\sin(a') & cos(a') & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}oldX \\oldY \\1 \\\end{pmatrix} \\ & =\begin{pmatrix}cos(a')*oldX-sin(a')*oldY+0 \\sin(a')*oldX+cos(a')*oldY+0 \\1 \\\end{pmatrix} \\& =\begin{pmatrix}\rho*cos(a')*cos(\theta)-\rho*sin(a')*sin(\theta) \\\rho*sin(a')*cos(\theta)+\rho*cos(a')*sin(\theta) \\1 \\\end{pmatrix} \\& =\begin{pmatrix}\rho*cos(\theta + a') \\\rho*sin(\theta + a') \\1 \\\end{pmatrix}\end{aligned}$$
<div>
<h1>transform: rotate(a)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="rotate(30)"></rect>
</svg>
<h1>transform: matrix(cos(a'), sin(a'), -sin(a'), cos(a'), 0, 0)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(0.866025,0.5,-0.5,0.866025,0,0)"></rect>
</svg>
</div>⑦ transform: rotate(a, x, y)
当 rotate 函数被指定旋转点后，情况稍微复杂了一点。
由于函数本质上控制的是画布本身，也可以理解为坐标系本身。
所以，如果想要坐标系上的某一个图形围绕具体一个点旋转，则需要以下三个步骤：
第一、将旋转点从坐标系原点，移动至指定点；
第二、该指定点默认为坐标系原点，开始旋转；
第三、为了保持旋转时其他图案的不变，将坐标系原点从指定点移动回初始点位。
所以，通常指定点的旋转，会采用 <translate(x, y)><rotate(a)><translate(-x, -y)> 的方式。
translate 中的参数 x、y 即为 rotate(a, x, y) 中的指定点坐标。
那么这种情况，应当如何用 matrix 描述呢？
我们假设上述三个变换矩阵分别为：
$$\begin{cases}translate(x,y)= T_1 =\begin{pmatrix}1 & 0 & x \\0 & 1 & y \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix} \\rotate(a) = R =\begin{pmatrix}cos(a') & -sin(a') & 0 \\sin(a') & cos(a') & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix} \\translate(-x,-y)=T_2=\begin{pmatrix}1 & 0 & -x \\0 & 1 & -y \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\end{cases}$$
则，根据函数执行方式可得矩阵计算方式为：
$$\begin{pmatrix}newX \\newY \\1 \\\end{pmatrix} =T_1 * R * T_2 *\begin{pmatrix}oldX \\oldY \\1 \\\end{pmatrix}$$
即：
$$\begin{aligned}M & = T_1 * R * T_2 \\& =\begin{pmatrix}1 & 0 & x \\0 & 1 & y \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}cos(a') & -sin(a') & 0 \\sin(a') & cos(a') & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & -x \\0 & 1 & -y \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}cos(a') & -sin(a') & x \\sin(a') & cos(a') & y \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & -x \\0 & 1 & -y \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}cos(a') & -sin(a') & -x*cos(a')+y*sin(a')+x \\sin(a') & cos(a') & -x*sin(a')-y*cos(a')+y \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{aligned}$$
也就是说，变换矩阵为 ：
matrix(cos(a'), sin(a'), -sin(a'), cos(a'), -xcos(a')+ysin(a')+x, -xsin(a')-ycos(a')+y)
$$\begin{pmatrix}newX \\newY \\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}cos(a') & -sin(a') & -x*cos(a')+y*sin(a')+x \\sin(a') & cos(a') & -x*sin(a')-y*cos(a')+y \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}oldX \\oldY \\1 \\\end{pmatrix}$$
<div>
<h1>transform: rotate(a, x, y)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="rotate(30,0,100)"></rect>
</svg>
<h1>transform: matrix(cos(a'), sin(a'), -sin(a'), cos(a'), -x*cos(a')+y*sin(a')+x, -x*sin(a')-y*cos(a')+y)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(0.866025, 0.5, -0.5, 0.866025, 50.0, 13.39746)"></rect>
</svg>
</div>⑧ transform: skewX(a)
skewX 表示的是 x 轴方向上的倾斜，同样这里将使用三角函数，也同样的，存在弧度制下的：
$$a'=\frac{\pi}{180}*a$$
由于倾斜只发生在 x 轴方向，由此可得：
$$\begin{cases}newX = \Delta x + oldX = tan(a')*oldY + oldX\\newY = oldY\end{cases}$$
故，变换函数为 matrix(1, 0, tan(a'), 1, 0, 0)
$$\begin{aligned}\begin{pmatrix}newX \\newY \\1 \\\end{pmatrix}& =\begin{pmatrix}1 & tan(a') & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}oldX \\oldY \\1 \\\end{pmatrix} \\& =\begin{pmatrix}1*oldX+tan(a')*oldY+0 \\0*oldX+1*oldY+0 \\1 \\\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}tan(a')*oldY + oldX\\oldY \\1 \\\end{pmatrix}\end{aligned}$$
<div>
<h1>transform: skewX(a)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="skewX(30)"></rect>
</svg>
<h1>transform: matrix(1, 0, tan(a'), 1, 0, 0)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(1,0,0.577350,1,0,0)"></rect>
</svg>
</div>⑨ transform: skewY(a)
skewY 表示的是 y 轴方向的倾斜，原理同上：
$$\begin{cases}newX = oldX \\newY = \Delta y + oldY = tan(a')*oldX + oldY \\\end{cases}$$
可得变换函数 matrix(1, tan(a'), 0, 1, 0, 0)
$$\begin{aligned}\begin{pmatrix}newX \\newY \\1 \\\end{pmatrix}& =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\tan(a') & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}oldX \\oldY \\1 \\\end{pmatrix} \\& =\begin{pmatrix}1*oldX + 0*oldY + 0 \\ tan(a')*oldX+1*oldY + 0 \\1 \\\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}oldX\\tan(a')*oldX+oldY \\1 \\\end{pmatrix}\end{aligned}$$
<div>
<h1>transform: skewY(a)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="skewY(30)"></rect>
</svg>
<h1>transform: matrix(1, tan(a'), 0, 1, 0, 0)</h1>
<svg x="0px" y="0px" width="600px" height="300px">
<line label="axisX" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="600" y2="0" />
<line label="axisY" fill="none" stroke="black" stroke-width="10" x1="0" y1="0" x2="0" y2="300" />
<rect x="0" y="0" width="200" height="100" fill="red" opacity="0.9" transform="matrix(1,0.577350,0,1,0,0)"></rect>
</svg>
</div>综上，就是 transform 全部函数的计算方式了。
或者也可以认为是它的矩阵运算描述。
当然，代码实现的时候可能会为了减少不必要的矩阵运算，从而做了最优化处理。但是理解它的运算原理，清楚底层的计算逻辑，却是十分有益的。
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