【数据挖掘 & 机器学习 | 时间序列】时间序列必学模型: ARIMA超详细讲解

---

摘要： 本系列旨在普及那些深度学习路上必经的核心概念，文章内容都是博主用心学习收集所写，欢迎大家三联支持！本系列会一直更新，核心概念系列会一直更新！欢迎大家订阅

content

• • • 传统时间序列系列模型
    • • ARIMA模型

传统时间序列系列模型

以下是一些常见传统时序建模方法。

ARIMA模型

AR MA 模型介绍

我们首先捋清楚下面四个。

AR（自回归）模型是一种仅使用过去观测值来预测未来观测值的模型。它基于一个假设，即当前观测值与过去观测值之间存在一种线性关系，可以用来描述时间序列数据的自相关性。AR模型的阶数表示过去的观测值对当前观测值的影响程度，例如AR(1)表示只考虑一个过去观测值的影响。

MA（移动平均）模型是一种把一个时间序列看作是过去若干期噪声的加权平均，即当前的观察值是由过去的白噪声通过一定的线性组合得到的。基本思想是：大部分时候时间序列应当是相对稳定的。在稳定的基础上，每个时间点上的标签值受过去一段时间内、不可预料的各种偶然事件影响而波动。即在一段时间内，时间序列应该是围绕着某个均值上下波动的序列，时间点上的标签值会围绕着某个均值移动，因此模型才被称为“移动平均模型 Moving Average Model”. MA模型的阶数表示考虑过去的预测误差的数量，例如MA(1)表示只考虑一个过去的预测误差。

ARMA（自回归移动平均）模型是AR和MA模型的结合。它综合考虑了过去观测值和过去的白噪声序列对当前观测值的影响。ARMA模型的阶数分别表示AR部分和MA部分的阶数，例如ARMA(1,1)表示考虑一个过去观测值和一个过去的预测误差。

ARIMA（自回归综合移动平均）模型是在ARMA模型的基础上引入了差分操作，用于处理非平稳时间序列（季节性）。ARIMA模型包括差分操作、自回归部分和移动平均部分。通过差分操作，ARIMA模型可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后使用ARMA模型进行建模。ARIMA模型的阶数分别表示差分操作、AR部分和MA部分的阶数，例如ARIMA(1,1,1)表示进行一阶差分，考虑一个过去观测值和一个过去的预测误差。

前提假设

ARIMA算法步骤

1. 数据准备：首先，收集时间序列数据，并进行必要的预处理。确保数据是连续的，并处理任何缺失值或异常值。

2. 平稳性检验：通过绘制时间序列图，自相关图及其单位根检验观察数据的整体趋势、季节性和噪声。这将帮助我们选择合适的ARIMA模型参数。（确定是否符合假设，并进行平稳性检验）

3. 确定差分阶数（d）：（绘图看趋势 & ADF等检验），如果时间序列是非平稳的，需要进行差分操作，使其变为平稳序列。通过计算一阶差分、二阶差分等，直到得到平稳序列。差分阶数d即为使时间序列平稳所需的差分次数。

4. 进行白噪声检验：如果通过白噪声检验（非平稳一定不是白噪声检验），这意味着该时间序列在统计上表现出了随机性，时间序列中没有明显的模式或趋势。可能需要重新考虑研究假设或采用不同的分析方法。

5. 确定自回归（AR）和移动平均（MA）的阶数（p和q）

6. 建立公式如下

   AR部分（Autoregressive Part）：
   AR ( p ) : X t = ϕ 0 + ∑ i = 1 p ϕ i X t − i + ε t \text{AR}(p): \quad X_t = \phi_0 + \sum_{i=1}^{p} \phi_i X_{t-i} + \varepsilon_t AR(p):Xt​=ϕ0​+i=1∑p​ϕi​Xt−i​+εt​

   其中：

   • X t X_t Xt​ 是时间序列在时间点t的观测值。
   • ϕ 0 \phi_0 ϕ0​ 是常数项。
   • ϕ i \phi_i ϕi​ 是自回归系数，表示时间序列在过去p个时间点的滞后值与当前值之间的线性关系。
   • ε t \varepsilon_t εt​ 是白噪声随机干扰误差项。

   差分部分（Integrated Part）：
   I ( d ) : Y t = ( 1 − L ) d X t \text{I}(d): \quad Y_t = (1 - L)^d X_t I(d):Yt​=(1−L)dXt​

   其中：

   • Y t Y_t Yt​ 是经过d阶差分处理后的时间序列。
   • L L L 是滞后 算子，表示对时间序列进行一步滞后操作，即 L X t = X t − 1 LX_t = X_{t-1} LXt​=Xt−1​。

   移动平均部分（Moving Average Part）：
   MA ( q ) : X t = μ + ε 0 + ∑ i = 1 q θ i ε t − i \text{MA}(q): \quad X_t = μ + \varepsilon_{0} + \sum_{i=1}^{q} \theta_i \varepsilon_{t-i} MA(q):Xt​=μ+ε0​+i=1∑q​θi​εt−i​

   其中：

   • θ i \theta_i θi​ 是移动平均系数，表示误差项在过去q个时间点的滞后值与当前值之间的线性关系。 $\varepsilon_{0} $ 为零均值白噪声序列， μ μ μ为均值。

   • 具体地说，给定过去q个时刻的误差项，当前时刻t的误差项ε_t可以通过以下方式计算：

     ε t = X t − μ − θ 1 ε ( t − 1 ) − θ 2 ε ( t − 2 ) − . . . − θ q ε ( t − q ) ε_t = X_t - μ - θ_1ε_(t-1) - θ_2ε_(t-2) - ... - θ_qε_(t-q) εt​=Xt​−μ−θ1​ε(​t−1)−θ2​ε(​t−2)−...−θq​ε(​t−q)

     也就是说，当前时刻的误差项是观测值与序列均值以及过去q个时刻的误差项的加权差。(将公式变换一下)

   综合起来，ARIMA(p, d, q)模型的数学公式可以表示为：

这个公式描述了ARIMA模型中时间序列的变化规律，其中p、d和q分别表示AR、差分和MA的阶数。通过拟合ARIMA模型到历史数据，并使用该模型进行预测，可以获得对未来时间序列值的估计。

1. 模型训练：使用最大似然估计或其他优化算法，对ARIMA模型的参数进行估计和优化。

2. 模型评估：使用各种评估指标（如均方根误差RMSE、平均绝对误差MAE等）来评估模型的拟合效果。如果模型拟合效果不好，可以调整参数并重新拟合模型。

3. 模型预测：使用训练好的ARIMA模型进行未来时间点的差分预测并通过逆差分得到目标数据。可以通过逐步预测或一次性预测多个时间点。

下面是一个使用Python库实现ARIMA模型的模板示例：

import pandas as pd
from statsmodels.datasets import get_rdataset
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

# 获取AirPassengers数据集
data = get_rdataset('AirPassengers').data

# 将Month列转换为日期类型
data['Month'] = pd.to_datetime(data['Month'])

# 将Month列设置为索引列
data.set_index('Month', inplace=True)

# 拆分数据集为训练集和测试集
train_data = data[:'1959']
test_data = data['1960':]

# 创建ARIMA模型
model = ARIMA(train_data, order=(2, 1, 2))

# 拟合模型
model_fit = model.fit()

# 预测未来值
predictions = model_fit.predict(start='1960-01-01', end='1960-12-01', dynamic=False)

# 打印预测结果
print(predictions)

						  🤞到这里，如果还有什么疑问🤞
					🎩欢迎私信博主问题哦，博主会尽自己能力为你解答疑惑的！🎩
					 	 🥳如果对你有帮助，你的赞是对博主最大的支持！！🥳