理论力学专题：刚体

刚体运动的欧拉定理

• 欧拉定理：具有一个固定点的刚体的任一位移等效于绕该定点的某一轴线的转动
  • 或者：定点运动刚体的任何位移都可以通过绕过该定点某轴的一次转动来实现
• chasles 定理：
  • 刚体的最一般位移可以视为其上任意一点的平移加上绕该点的一个转动

欧拉刚体运动方程

角速度

• 角速度矢量
  • 有限转动和无限小转动
    • 有限转动不是矢量，不满足矢量加法对易律
    • 无限小转动是矢量，满足矢量加法交换律
  • 角速度的绝对性
    • 角速度与基点的选取无关

欧拉角

• 对于作定点运动的刚体，一定点为原点，建立两个坐标系，静止坐标系与本体坐标系。本体坐标系相对于空间坐标系的取向代表了刚体在空间中的取向
• 转动矩阵

• 转动矩阵的性质
  • 可逆，正交，A^TA=1
  • det (A) = 1
  • 转动矩阵的本征方程：(A - \lambda I) X = 0 有一本征值1，相应的本征矢对应于转动操作的转轴，另外两个本征值为 exp(\pm i\Phi),\Phi 为转角
• 进动角\varphi

• 章动角\theta

• 自转角\psi

• 静止系到本体系的变换矩阵 

欧拉刚体运动学方程

• 对角速度的复杂的展开，背不下来

欧拉刚体运动学方程

• 刚体运动微分方程
  • 将作用在刚体上的力简化为过置信的力和对质心的力矩

转动惯量张量与惯量主轴

转动惯量张量

• 对角元为绕x轴，y轴，z轴的转动惯量

• 非对角元称为惯量积
• 一般而言，惯量张量矩阵的每个元素都是时间的函数，且与坐标系的选择有关，但在本体坐标系中这些矩阵元不随时间变化

惯量主轴

• 实对称矩阵的对角化
  • 定理：A是一个实对称矩阵，则一定存在一个正交矩阵Q使得Q^{-1}AQ=D或者Q^{t}AQ=D
    • 求特征值
    • 求特征向量
    • 将同一个特征值所对应的不同特征向量正交化
    • 将所有正交特征向量规范化
    • 得到Q和D

• 转动惯量张量的对角化
  • 一个实对称矩阵可以通过某种正交变化变成其对角形式
  • 这种使得惯量张量矩阵取对角形式的坐标系称为主轴坐标系，它的三个相互垂直的坐标轴称为惯量主轴，对角元称为主转动惯量
  • 由初始坐标系到主轴坐标系的正交变换称为主轴变换

角动量与转动动能

欧拉动力学方程

欧拉动力学方程