K-D树，即K-Dimensional Tree，是一种高维索引树型数据结构。常用于大规模高维数据空间的最邻近或者K邻
近查找，例如图像检索中高维图像特征向量的K邻近匹配，对KNN算法的优化等。
Contents
1. K-D树的基本原理
2. K-D树的改进（BBF算法）
3. K-D树的C++实现
4. K-D树的开源框架介绍
1. K-D树的基本原理
K-D树实际上是一棵高维二叉搜索树，与普通二叉搜索树不同的是，树中存储的是一些K维数据。先回忆一下二
叉搜索树（BST），它是一棵具有如下性质的树
（1）若它的左子树不为空，那么左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值。
（2）若它的右子树不为空。那么右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值。
（3）它的左右子树也分别是一棵二叉搜索树。
二叉搜索树在建树时，按照上述规则分别插入即可。而在搜索时，从根节点开始往下查找。可以看出二叉搜索
树的建树平均时间复杂度为，最坏时间复杂度为
，查找的平均时间复杂度为
，
最坏时间复杂度为，由于二叉搜索树不是平衡的，可能退化为一条链，这种情况就是最坏情况了。
普通的二叉搜索树是一维的，当推广到K维后，就是我们的K-D树了。在K-D树中跟二叉搜索树差不多，也是将
一个K维的数据与根节点进行比较，然后划分的，这里的比较不是整体的比较，而是选择其中一个维度来进行比
较。那么在K-D树中我们需要解决两个重要的问题
（1）每一次划分时，应该选择哪个维度？
（2）在某个维度上划分时，如何保证左右子树节点个数尽量相等？
首先来看问题（1）每次划分时，应该选择哪个维度 ？
最简单的做法就是一个维度一个维度轮流着来，但是仔细想想，这种方法不能很好地解决问题。假设有这样一
种情况：我们需要切一个豆腐条，长度要远远大于宽度，要想把它切成尽量相同的小块，显然是先按照长度来
切，这样更合理，如果宽度比较窄，那么这种效果更明显。所以在K-D树中，每次选取属性跨度最大的那个来
进行划分，而衡量这个跨度的标准是什么？ 无论是从数学上还是人的直观感受方面来说，如果某个属性的跨度
越大，也就是说越分散，那么这组数据的方差就越大，所以在K-D树进行划分时，可以每次选择方差最大的属性
来划分数据到左右子树。
问题（1）已解决，现在再来看问题（2），在某个维度上划分时，如何保证左右子树节点个数尽量相等？
当我们选择好划分的属性时，还要根据某个值来进行左右子树划分，而这个值就是一个划分轴，回忆一下，在快
速排序算法中，也有一个划分轴pivot。在K-D树的划分中，这个轴的选取很关键，要保证划分后的左右子树尽
量平衡，那么很显然选取这个属性的值对应数组的中位数作为pivot，就能保证这一点了。
这样就解决了K-D树中最重要的两个问题。接下来看K-D树是如何进行查找的。
假设现在已经构造好了一棵K-D树，最邻近查找的算法描述如下
（1）将查询数据Q从根节点开始，按照Q与各个节点的比较结果向下遍历，直到到达叶子节点为止。到达叶子节
点时，计算Q与叶子节点上保存的所有数据之间的距离，记录最小距离对应的数据点，假设当前最邻近点为
p_cur，最小距离记为d_cur。
（2）进行回溯操作，该操作的目的是找离Q更近的数据点，即在未访问过的分支里，是否还有离Q更近的点，它
们的距离小于d_cur。
以上就是K-D树的基本原理。
2. K-D树的改进（BBF算法）
上述中的K-D树存在缺点，当维数比较大的时候，建树后的分支自然会增多，进而回溯的次数增加，算法效率会
随之降低。在图像检索中，特征往往是高维的，很有必要对K-D树算法进行改进，这就是即将要介绍的BBF算法。
BBF算法我就不详细说了，具体可以参考如下两篇文章
（2）从K近邻算法、距离度量谈到KD树、SIFT+BBF算法
3. K-D树的C++实现
以HDU4347为例，给出K-D树的C++的简易代码。 题目：The Closest M Points
代码：
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <queue>
using namespace std;
#define N 50005
#define lson rt << 1
#define rson rt << 1 | 1
#define Pair pair<double, Node>
#define Sqrt2(x) (x) * (x)
int n, k, idx;
struct Node
{
int feature[5]; //定义属性数组
bool operator < (const Node &u) const
{
return feature[idx] < u.feature[idx];
}
}_data[N]; //_data[]数组代表输入的数据
priority_queue<Pair> Q; //队列Q用于存放离p最近的m个数据
class KDTree{
public:
void Build(int, int, int, int); //建树
void Query(Node, int, int, int); //查询
private:
Node data[4 * N]; //data[]数组代表K-D树的所有节点数据
int flag[4 * N]; //用于标记某个节点是否存在，1表示存在，-1表示不存在
}kd;
//建树步骤，参数dept代表树的深度
void KDTree::Build(int l, int r, int rt, int dept)
{
if(l > r) return;
flag[rt] = 1; //表示编号为rt的节点存在
flag[lson] = flag[rson] = -1; //当前节点的孩子暂时标记不存在
idx = dept % k; //按照编号为idx的属性进行划分
int mid = (l + r) >> 1;
nth_element(_data + l, _data + mid, _data + r + 1); //nth_element()为STL中的函数
data[rt] = _data[mid];
Build(l, mid - 1, lson, dept + 1); //递归左子树
Build(mid + 1, r, rson, dept + 1); //递归右子树
}
//查询函数，寻找离p最近的m个特征属性
void KDTree::Query(Node p, int m, int rt, int dept)
{
if(flag[rt] == -1) return; //不存在的节点不遍历
Pair cur(0, data[rt]); //获取当前节点的数据和到p的距离
for(int i = 0; i < k; i++)
cur.first += Sqrt2(cur.second.feature[i] - p.feature[i]);
int dim = dept % k; //跟建树一样，这样能保证相同节点的dim值不变
bool fg = 0; //用于标记是否需要遍历右子树
int x = lson;
int y = rson;
if(p.feature[dim] >= data[rt].feature[dim]) //数据p的第dim个特征值大于等于当前的数据，则需要进入右子树
swap(x, y);
if(~flag[x]) Query(p, m, x, dept + 1); //如果节点x存在，则进入子树继续遍历
//以下是回溯过程，维护一个优先队列
if(Q.size() < m) //如果队列没有满，则继续放入
{
Q.push(cur);
fg = 1;
}
else
{
if(cur.first < Q.top().first) //如果找到更小的距离，则用于替换队列Q中最大的距离的数据
{
Q.pop();
Q.push(cur);
}
if(Sqrt2(p.feature[dim] - data[rt].feature[dim]) < Q.top().first)
{
fg = 1;
}
}
if(~flag[y] && fg)
Query(p, m, y, dept + 1);
}
//输出结果
void Print(Node data)
{
for(int i = 0; i < k; i++)
printf("%d%c", data.feature[i], i == k - 1 ? '\n' : ' ');
}
int main()
{
while(scanf("%d%d", &n, &k)!=EOF)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < k; j++)
scanf("%d", &_data[i].feature[j]);
kd.Build(0, n - 1, 1, 0);
int t, m;
scanf("%d", &t);
while(t--)
{
Node p;
for(int i = 0; i < k; i++)
scanf("%d", &p.feature[i]);
scanf("%d", &m);
while(!Q.empty()) Q.pop(); //事先需要清空优先队列
kd.Query(p, m, 1, 0);
printf("the closest %d points are:\n", m);
Node tmp[25];
for(int i = 0; !Q.empty(); i++)
{
tmp[i] = Q.top().second;
Q.pop();
}
for(int i = m - 1; i >= 0; i--)
Print(tmp[i]);
}
}
return 0;
}
4. K-D树的开源框架介绍
K-D树的一个比较好的C++框架可以戳这里。下载后，可以参考里面的examples文件夹中的代码学习使用。