剑指Offer（三十五）：数组中的逆序对

一、引子

这个系列是我在牛客网上刷《剑指Offer》的刷题笔记，旨在提升下自己的算法能力。

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二、题目

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

输入描述：

题目保证输入的数组中没有的相同的数字

数据范围：

对于%50的数据,size<=10^4

对于%75的数据,size<=10^5

对于%100的数据,size<=2*10^5

事例1：

输入：

输出：

1、思路

首先我们先明白题目的意思，比如一个数组{7,5,6,4},它的逆序对总共有五对，{7,5},{7,6},{7,4},{5,4},{6,4} 只要是前面比后面大就组成一个逆序对。

看到这个题目，我们的第一反应是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

现在用上面说的这种方式是一种时间复杂度比较高的一种，我们换一种思路，采用归并排序的方法。

先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分解成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7>5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}，{4}中也有逆序对（6,4），由于已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组进行排序，避免在之后的统计过程中重复统计。

逆序对的总数 = 左边数组中的逆序对的数量 + 右边数组中逆序对的数量 + 左右结合成新的顺序数组时中出现的逆序对的数量

2、编程实现

python

代码实现方案：

# -*- coding:utf-8 -*-

class Solution:

    def InversePairs(self, data):

        # write code here

        if not data:

            return 0

        temp = [i for i in data]

        return self.mergeSort(temp, data, 0, len(data)-1) % 1000000007

    def mergeSort(self, temp, data, low, high):

        if low >= high:

            temp[low] = data[low]

            return 0

        mid = (low + high) / 2

        left = self.mergeSort(data, temp, low, mid)

        right = self.mergeSort(data, temp, mid+1, high)

        count = 0

        i = low

        j = mid+1

        index = low

        while i <= mid and j <= high:

            if data[i] <= data[j]:

                temp[index] = data[i]

                i += 1

            else:

                temp[index] = data[j]

                count += mid-i+1

                j += 1

            index += 1

        while i <= mid:

            temp[index] = data[i]

            i += 1

            index += 1

        while j <= high:

            temp[index] = data[j]

            j += 1

            index += 1

        return count + left + right

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