【题解】POJ3041 Asteroids - 图论 - 二分图匹配

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POJ3041 Asteroids

题目描述

假如你现在正处在一个 \(N*N\) 的矩阵中,这个矩阵里面有 \(K\) 个障碍物,你拥有一把武器,一发弹药一次能消灭一行或一列的障碍物,求最小的弹药消灭全部障碍物

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Solution

这是经典的最小点覆盖问题，用到了二分图匹配的思想

建图方式：我们把行和列分成左右两组，对于每个障碍物 \((x, y)\) 进行连边

只要每个障碍物所在的行或列中有一个被消除就好了，即两个端点有一个被选中，即变为了二分图最大匹配问题

放一段转载的简单证明：

“

\((1)\) \(M\) 个是足够的。只需要让它们覆盖最大匹配的 \(M\) 条边，则其它边一定被覆盖（如果有边 \(e\) 不被覆盖，把 \(e\) 加入后得到一个更大的匹配）

\((2)\) \(M\) 个是必需的，仅考虑形成最大匹配的这 \(M\) 条边，由于它们两两之间没有公共点，因此至少需要 \(M\) 个点才可以把它们覆盖

”

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Code

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<fstream>

#include<algorithm>

#include<cmath>

#include<cstring>

#define F(i, x, y) for(register int i = x; i <= y; ++ i)

using namespace std;

int read();

const int N = 500 + 5;

int n, k, ans;

int x, y;

int a[N][N], vis[N], twice[N];

bool find(int x)

{

	F(i, 1, n)

		if(a[x][i] && ! vis[i])

		{

			vis[i] = 1;

			if(! twice[i] || find(twice[i]))

			{

				twice[i] = x;

				return true;

			}

		}

	return false;

}

int main()

{

	n = read(), k = read();

	F(i, 1, k) x = read(), y = read(), a[x][y] = 1;

	F(i, 1, n)

	{

		memset(vis, 0, sizeof(vis));

		if(find(i)) ++ ans;

	}

	printf("%d", ans);

	return 0;

}

int read()

{

	int x = 0, f = 1;

	char c = getchar();

	while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-') f = -1; c = getchar();}

	while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar();

	return x * f;

}