在《大家的人工智能——线性回归》中,我们介绍了如何找到一条直线来拟合训练数据,下面把之前的一元线性回归扩展到多元线性回归:
y=θ0+θ1x1+θ2x2++θnxn

其中θ0对应的是一元线性回归中的那个b,我们再把上面的方程改写一下:
y=θ0x0+θ1x1+θ2x2++θnxn
其中x0=1。因此可以把上面的再改写成矩阵形式:
Y=θTX
在之前的线性回归中我们说到通过梯度下降的方式,最小化代价函数而找到最优的一组参数最终得到一条直线。聪明的小伙伴很可能会想到,既然是最小化代价函数的值,为什么不用求导的方式得到最佳的θ值呢?

完全是可以的,现在我们看看上面我们改写的那个矩阵形式的公式,我们现在已经知道y和X的值了,做一下简单的求导就能求出θ:
θ=(XTX)1XTY

这样把训练数据代入就能求出θ从而得到拟合数据的一个模型。那么它和梯度下降有什么不同呢,为什么几乎所有地方都在用梯度下降,而正规方程比较少见呢。我们来看看它们两者之间的特点就明白了:

梯度下降:

  • 需要选取学习率α
  • 需要很多次迭代来得到最优的θ
  • 即使训练数据庞大也有良好的性能

正规方程:

  • 不需要选取学习率α
  • 不需要迭代
  • 需要计算(XTX)1,时间复杂度为O(n3)
  • 如果训练数据规模庞大,速度会很慢

很明显,正规方程在数据量大的时候性能不够好,而在机器学习、深度学习的任务中,数据有时候会非常庞大,因此将梯度下降作为优化方式。

题外话

现在我们来看看那个正规方程是如何导出来的,首先:
θ=[θ0,θ1,,θn]T

Y=[y(1),y(2),,ym]T
代价函数:
J(θ0,θ1,,θn)=2m1(XθY)T(XθY)=2m1(XTθTXθXTθTYYTXθ+YTY)
因此要最小化上面代价函数,这里给出两个矩阵的求导公式:
BAB=AT
XXTAX=2AX

因此:
θJ(θ)=2m1(2XTXθ2XTY)
令其等于零:
2m1(2XTXθ2XTY)=0
得到:
θ=(XTX)1XTY

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大家的人工智能——正规方程-LMLPHP

06-11 11:44