正态总体的抽样分布
设 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 是来自正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2) 的样本， X ˉ \bar{X} Xˉ 为样本均值， S ∗ 2 S^{*2} S∗2 为修正样本方差，则
X ˉ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n}) Xˉ∼N(μ,nσ2)
( n − 1 ) S ∗ 2 σ 2 = n S 2 σ 2 = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^{*2}}{\sigma^2}=\frac{nS^2}{\sigma^2}=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 \sim \chi^2(n-1) σ2(n−1)S∗2=σ2nS2=σ21i=1∑n(Xi−Xˉ)2∼χ2(n−1)
设 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 是来自正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2) 的样本， X ˉ \bar{X} Xˉ 为样本均值， S ∗ 2 S^{*2} S∗2 为修正样本方差，则
T = n ( X ˉ − μ ) S ∗ ∼ t ( n − 1 ) T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*} \sim t(n-1) T=S∗n (Xˉ−μ)∼t(n−1)
设 X 1 , . . . , X n 1 X_1,...,X_{n_1} X1,...,Xn1 和 Y 1 , . . . , Y n 2 Y_1,...,Y_{n_2} Y1,...,Yn2 分别为正态总体 N ( μ 1 , σ 2 ) N(\mu_1,\sigma^2) N(μ1,σ2) 和 N ( μ 2 , σ 2 ) N(\mu_2,\sigma^2) N(μ2,σ2) 的样本，且两样本相互独立，则有
T = ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ 1 − μ 2 ) S w 1 n 1 + 1 n 2 ∼ t ( n 1 + n 2 − 2 ) T=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2-2) T=Swn11+n21 (Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)∼t(n1+n2−2)
其中
S w = ( n 1 − 1 ) S 1 n 1 ∗ 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 n 2 ∗ 2 n 1 + n 2 − 2 S_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_{1n_1}^{*2}+(n_2-1)S_{2n_2}^{*2}}{n_1+n_2-2}} Sw=n1+n2−2(n1−1)S1n1∗2+(n2−1)S2n2∗2
设 X 1 , . . . , X n 1 X_1,...,X_{n_1} X1,...,Xn1 和 Y 1 , . . . , Y n 2 Y_1,...,Y_{n_2} Y1,...,Yn2 分别为正态总体 N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(\mu_1,\sigma^2_1) N(μ1,σ12) 和 N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(\mu_2,\sigma^2_2) N(μ2,σ22) 的样本，且两样本相互独立， S 1 n 1 ∗ 2 S_{1n_1}^{*2} S1n1∗2 和 S 2 n 2 ∗ 2 S_{2n_2}^{*2} S2n2∗2 分别为两个样本各自的修正方差，则
F = σ 2 2 S 1 n 1 ∗ 2 σ 1 2 S 2 n 2 ∗ 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F=\frac{\sigma^2_2S_{1n_1}^{*2}}{\sigma_1^2S_{2n_2}^{*2}} \sim F(n_1-1, n_2-1) F=σ12S2n2∗2σ22S1n1∗2∼F(n1−1,n2−1)
参考文献
[1] 《应用数理统计》，施雨，西安交通大学出版社。