2022年国赛高教杯数学建模
D题 气象报文信息卫星通信传输
原题再现
在某些紧急救援任务中，需要进行物资空投。在地面通信系统瘫痪的情形下，为了更好地获得准确完整的地面气象观测信息，通常对任务区域的重要目标点采用派遣气象分队的方式来获取实时气象数据，通过卫星通信传输数据，从而保障救援任务的顺利完成。
现需派遣多支气象分队前往多个区域进行地面气象观测保障任务。一支气象分队在一个区域的三个不同地点设立 1 个观测主站，2 个观测副站（主站编号 1，2，3，⋯；副站编号 1a，1b，2a，2b，3a，3b，⋯）。主站部署车载型卫星通信设备 1 套，副站各部署便携型卫星通信设备 1 套。两类卫星通信设备相关性能指标如下：
(1) 所有观测站之间只能依靠卫星通信设备进行点到点通信，且通信不受空间距离的限制。
(2) 由于受到周边电磁环境的干扰，便携型卫星通信设备发送和接收消息的成功率均为80%，但车载型卫星通信设备发送和接收消息的成功率不受影响，均为 100%。
(3) 收发消息的主要内容为气象报文信息（简称气象报文），一条气象报文内容（含所属站点编号）包含 100 个字符，每条消息最多可包含 158 个字符。同一条气象报文可分割成上下两个半段分别传输。
(4) 每部卫星通信设备每次只能发送一条消息，发送两条消息的时间间隔不能小于 1 分钟；收发通道相互独立，在发送消息时，可同时接收任意多条消息；发送和接收消息的时间非常短，可忽略。
(5) 副站不知道本站所发送消息是否被成功接收。
现拟派遣 𝑁 支分队执行任务，要求每小时各分队所属主副站对所在地点的气象信息进行一次采集，并按下列要求通过卫星通信设备进行气象报文的信息共享，这里，气象报文的信息共享是指任意一个观测站采集的气象信息应被成功转发到其他所有观测站。
问题 1 (1) 要求在 𝐾 分钟内完成 𝑁 (≥ 5) 支分队主站间气象报文的信息共享，请研究𝐾 的最小值与 𝑁 的关系，并建立 𝐾 分钟内实现 𝑁 个主站间气象报文信息共享的一般传输模型。
(2) 在上述模型中，取 𝑁 = 9，给出 𝐾 的相应最小值，并根据一般传输模型给出此时主站间气象报文的信息共享方案，将结果按表 1 的格式填报。填报结果时，注意消息的完整性，例如：在“发送信息所属站点序号”一栏中填写“5”，表示本轮所发送消息来自于第 5 号主站，是一条完整气象信息；而填写“5(1)”“5(2)”则分别表示本轮所发送消息来自于第 5 号主站的上半段与下半段气象信息。
问题 2 为了提高气象信息的地理密度，除了实现主站间气象报文的信息共享外，还需要使用副站气象信息加以补充。
(1) 若要求在 𝐾 分钟内完成 𝑁 个主站间气象报文的信息共享，且每个主站满足条件：对每支分队，成功接收该分队至少一个副站的气象报文的概率不低于 0.9。请就 𝐾 (≥ 5) 的情形，研究 𝑁 的最大值与 𝐾 的关系，并建立 𝐾 分钟内满足以上条件的信息传输的一般模型。若主站间气象报文信息共享的传输方案与问题 1 相同，则只需给出副站气象报文的传输方案。
(2) 对于 𝐾 = 7，给出 𝑁 的最大值，并根据一般传输模型给出此时副站气象报文的传输方案，将结果按表 2 的格式填报。求出在你们的传输方案下平均有多少个主站能成功接收每支分队至少一个副站的气象报文，以及任一主站平均能成功接收多少个副站的气象报文。
问题 3 若要求在 𝐾 = 8 分钟内完成 𝑁 个主站间气象报文的信息共享，且每个主站满足条件：对每支分队，成功接收该分队至少一个副站的气象报文的概率不低于 0.97，请给出 𝑁 的最大值，并给出此时主站间气象报文信息共享的传输方案与副站气象报文信息的传输方案，将前者按表 1 的格式填报，后者按表 2 的格式填报。求出在你们的传输方案下平均有多少个主站能成功接收每支分队至少一个副站的气象报文，以及任一个主站平均能成功接收多少个副站的气象报文。
整体求解过程概述(摘要)
在某些紧急救援任务中下，为了更好地获取准确完整的气象信息，需要气象分队通过卫星通信传输数据，保障救援任务顺利完成。本文基于信息传输率最大化原则和各站点对称性原则，给出了气象报文信息共享的最少传输次数公式和最大站点个数公式，并通过建立传输模型对其进行证明。最终，给出了3个具体问题的传输方案。
针对问题一，首先计算出N个主站间需要共享的信息总数为 条，以及每次可传输的最大信息数为1.5条(第一次由于每个站点只拥有自己的1条气象信息，故只能传输1条信息)。因此，为满足信息传输率最大化原则和对称性原则，从第二次传输开始后，每个站点均按最大传输信息数1.5发送信息，由此得到传输次数K和主站点数量N之间的关系 。然后通过对N的取值进行分类讨论，分别证明了在不同情况下 。由此建立一般的信息传输模型，并针对N=9得出了相应的最短传输时间K=6，并给出了具体的传输方案。
针对问题二，经分析，一个副站单次成功传输给任一主站的概率为80%，不满足题目条件，因此需要两个副站同时向任一主站传输或分别向不同主站各传输两次，此时概率为96%。并且在信息传输时，优先主站间的气象报文相互传输，主站间传输模型与问题一一致，在主站传输信息的同时，副站依次给各主站发送信息，当主站信息共享完成后，主站和副站一同发送副站的信息。根据除首次传输外，每次最多均可传输2.5条信息，得出在传播时间K固定时，最大站点数量N与K满足 ，且针对不同情况进行了证明并给出了对应的传输模型。针对K=7求得N=9，并结合给出的方案，通过使用VS(C++)计算了成功接收每分队至少一个副站气象报文的主站数量的期望值为6.2325 任一主站接收副站数量的期望值为13.12
针对问题三，考虑到副站给主站传输至少需三条信息，抽象化定义每次分站小队传输的信息数量为2/3条，结合问题一和问题二的推导过程，得到了传播时间K固定时，最大站点数量N与K满足 。在此基础上，根据题中条件K=8求得N=8，并给出了相应的传输方案。基于该方案，计算了成功接收每分队至少一个副站气象报文的主站数量的期望值为7.50208 任一主站接收副站数量的期望值为11.008。
模型假设：
（1）假设每次传输所有站点同时发送信息。
（2）假设每个气象报文只可平均分为上下两段。
（3）假设每次发送的信息最多为1.5条(字符数小于158)。
（4）假设在第一次发送信息前卫星通信设备不存在间隔时间情况。
（5）假设N支队伍按顺序从1至N编号。
问题分析：
问题一分析
针对该问题，需保证在N≥5时，所有主站点共享信息时间K最短。因此先确定N支队伍所需接收的信息总数，然后确定N支队伍每次最多可发送的信息量(认定每次每个站点最多发送1.5条信息)。为保证观测站点可以以最多发送量发送信息，在第一次传输后保证每个站点掌握两条信息(200个字符)，用所需接收的信息总数除以每次可发送的最大信息量以此得出最短时间，得到K与N之间满足的不等式。
基于上述结果，对N的取值进行分类讨论，分别证明K可以取到不等式的下界，这样就求得了K与N之间的定量关系。针对每种情况，分别给出传输的一般模型，并代入N=9进行求解，得到该情况的传输模型。
问题二分析
针对该问题，一个副站单次成功传输给任一主站的概率为80%，不满足题目条件，因此需要两个副站同时向任一主站传输或分别向不同主站各传输两次，此时概率为96%。为保证最大效率，尽可能使所有站点都发送信息。且主站间优先发送信息进行气象报文信息共享。在主站进行气象信息共享的同时，副站依次给各主站发送信息，当主站间气象报文信息共享完成后，开始发送所收到的副站信息。考虑到除第一次外，其余每次传输信息上限为2.5N条，根据需要的总信息数量建立K与N之间的关系，得到K与N之间满足的不等式。
基于上述结果，对K的取值进行分类讨论，分别证明N可以取到不等式的上界，这样就求得了K与N之间的定量关系。针对每种情况，分别给出传输的一般模型，并代入K=7进行求解，得到该情况的传输模型。计算成功接收每分队至少一个副站气象报文的主站数量的期望值、任一主站接收副站数量的期望值。
问题三分析
针对该问题，考虑到副站给主站传输至少需3条信息，抽象每次分站小队传输的信息数量为2/3条。结合上文问题二的分析，根据需传输的信息总数与单次传输上限，得到给定K与最大站点数量N之间的定量关系。
基于上述结果，代入K=8 进行求解N的值，并给出该情况的传输模型，计算成功接收每分队至少一个副站气象报文的主站数量的期望值、任一主站接收副站数量的期望值。
模型的建立与求解整体论文缩略图
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程序代码：(代码和文档not free)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%用改进的morlet_wavelet做信号(用文件打开)的小波变换%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%得到小波变换谱图并提取小波脊%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%求加权平均频率%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all;
close all;
%%%%%%%%%%%%%%选择初始值%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
nn=1024;
dt=0.001;
df=1/(nn*dt);
sigma=3;
beta=0;
tao=0.5;
mmax=400; %输入频率范围
%%%%%%%%%%%%%%%%%%读原始信号%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fid=fopen('signal','r');
[f]=fread(fid,[nn,1],'float');
fclose(fid);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%进行小波变换%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fw=fft(f);
p=(2*tao/pi)^0.25*(4*(exp(-sigma^2/(2*tao))-exp(-3*sigma^2/(8*tao)))*(cos(beta*sigma))^2+...
1-exp(-sigma^2/(2*tao)))^(-0.5);%physical wavelet中的参数p
q=(2*tao/pi)^0.25*(4*(exp(-sigma^2/(2*tao))-exp(-3*sigma^2/(8*tao)))*(sin(beta*sigma))^2+...
1-exp(-sigma^2/(2*tao)))^(-0.5);%physical wavelet中的参数q
omega=sqrt(pi/(2*tao))*sigma*p*q*(1-exp(-3*sigma*sigma/(8*tao)));%小波主频
for l=1:mmax
s=l*df;%真实频率
a=omega/(2*pi*s);%尺度因子与小波主频的关系
for m=1:nn
t0=(m-1-nn/2)*dt/a;
g(m)=exp(-tao*(t0-beta)^2)*(p*(cos(sigma*t0)-exp(-sigma^2/(4*tao))*cos(beta*sigma))+...
i*q*(sin(sigma*t0)-exp(-sigma^2/(4*tao))*sin(beta*sigma)));%physical wavelet
end
gw=fft(g);
for m=1:nn
fg(m)=fw(m)*conj(gw(m))/sqrt(a);
end
fgw(l,:)=ifft(fg);
fgw(l,:)=fftshift(fgw(l,:));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%求小波脊%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for l=1:mmax
s=l*df;%真实频率
argument(l,1)=(angle(fgw(l,2))-angle(fgw(l,m-1)))/dt; %瞬时相位的偏导数头处理
argument(l,nn)=(angle(fgw(l,nn))-angle(fgw(l,nn-1)))/dt; %瞬时相位的偏导数尾处理
for m=2:nn-1;
argument(l,m)=(angle(fgw(l,m+1))-angle(fgw(l,m-1)))/(2*dt); %瞬时相位的偏导数中间处理
end
for m=1:nn;
if abs((s-argument(l,m)/2/pi)/s)<=0.01;
wtridge(l,m)=abs(fgw(l,m));
else wtridge(l,m)=0;
end
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%另外一种瞬时频率求法%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
omegasigma=sqrt(pi)*sigma*p*q*(1-exp(-0.75*sigma^2));
for l=1:mmax
s=l*df;%真实频率
a=omega/(2*pi*s);
for m=1:nn;
argument(l,m)=omegasigma/(2*pi*a);
end
for m=1:nn;
if abs((s-argument(l,m))/s)<=0.01;
wtridge(l,m)=abs(fgw(l,m));
else wtridge(l,m)=0;
end
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%求加权平均频率%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for m=1:nn;
frequency(m)=0;
sum=0;
for l=1:mmax
s=l*df;%真实频率
frequency(m)=frequency(m)+s*abs(fgw(l,m))^2;%加权
sum=sum+abs(fgw(l,m))^2;
end
frequency(m)=frequency(m)/sum;%加权平均频率
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%画图显示%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
t=(1:nn)*dt;
l=(1:mmax)*df;
figure(1);%绘制原始信号f(t)的曲线图
plot(t,f);
title('original signal');
xlabel('time sample number');
ylabel('intensity');
figure(2);%绘制小波变换后的时频图
pcolor(t,l,abs(fgw));
shading interp;
title('wavelet transform');
xlabel('time sample number');
ylabel('frequecy');
figure(3);%绘制小波脊
pcolor(t,l,wtridge);
shading interp;
title('wavelet ridge');
xlabel('time sample number');
ylabel('frequecy');
figure(4);%绘制加权平均频率
plot(t,frequency);
title('weighted frequency');
xlabel('time sample number');
ylabel('frequecy');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%THE END%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%