推导了一下论文哈密尔顿原理的表达,原论文的计算公式是对的,记录一下。

Gravagne I A, Rahn C D, Walker I D. Good vibrations: a vibration damping setpoint controller for continuum robots[C]//Proceedings 2001 ICRA. IEEE International Conference on Robotics and Automation (Cat. No. 01CH37164). IEEE, 2001, 4: 3877-3884.

【论文阅读公式推导1】连续体机器人的哈密尔顿动力学推导-LMLPHP

哈密尔顿原理的公式:

δ ∫ t 0 t 1 ( K E − P E + W e ) d t = 0 \delta\int_{t_0}^{t_1} (KE-PE+W_e)dt=0 δt0t1(KEPE+We)dt=0

其中 K E KE KE是动能, P E PE PE是势能, W e W_e We是非保守力的功。

如果按照达朗贝尔原理可以把势能 P E PE PE转换为保守力做的功 W c W_c Wc。其中势能 P E PE PE变换为功要加个负号。

− P E = W c -PE=W_c PE=Wc

这样和非保守力做的功 W e W_e We合并为外力的功 W W W

W = W c + W e W=W_c+W_e W=Wc+We

δ ∫ t 0 t 1 ( K E + W ) d t = 0 \delta\int_{t_0}^{t_1} (KE+W)dt=0 δt0t1(KE+W)dt=0

其中势能 P E PE PE变换为功要加个负号。

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求解的过程使用了变分法,参考了叶敏《分析力学》134页关于连续体在哈密顿动力学的应用的例5-5。

求解过程的思路:

  1. 要不断分离出变分负号,利用边值条件都为0(等时变分):
  • δ y ( x , t 0 ) = δ y ( x , t 1 ) = 0 \delta{y(x,t_0)}=\delta y(x,t_1)=0 δy(x,t0)=δy(x,t1)=0
  • 其导数也是一样的为0。
  1. 分离的方法是分部积分法,将变分负号的求导阶数不断降低。如

y ˙ ∂ ∂ t ( δ y ) = ∂ ∂ t ( y ˙ δ y ) − y ¨ δ y \dot{y}\frac{\partial}{\partial t}({\delta y})=\frac{\partial}{\partial t}(\dot{y}\delta y)-\ddot{y}\delta y y˙t(δy)=t(y˙δy)y¨δy

06-01 04:45