如何编写用于Neo-Hookean材料的Abaqus VUMAT Fortran子例程

引言

大家好，我是一个热爱编程、研究有限元分析的普通程序员。我非常感谢你们能够抽出宝贵的时间来阅读我的文章，你们的支持是我前行的动力。今天，我们将讨论一个非常专业的话题，即如何编写用于Neo-Hookean材料的Abaqus VUMAT Fortran子例程。我将尽力用尽可能简单的语言来解释这个过程，但由于这是一个高级主题，我假设你已经有了一些Abaqus、Fortran和材料模型的基础知识。

在讨论如何实现这个子例程之前，我想先简要解释一下Neo-Hookean材料模型和Abaqus VUMAT子例程的含义。

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Neo-Hookean材料模型

Neo-Hookean材料模型是一个用于描述某些弹性材料行为的物理模型。该模型是以Robert Hooke的名字命名的，他是一位伟大的英国科学家，最为人所知的是他的胡克定律，描述了材料在弹性形变下的行为。Neo-Hookean模型是考虑了材料非线性和大变形效应的胡克模型的扩展。

Abaqus VUMAT子例程

Abaqus是一种广泛使用的商业有限元分析软件。它可以用于模拟各种复杂的物理现象，如弹性、塑性、疲劳、蠕变等。为了提供更大的灵活性和定制能力，Abaqus允许用户编写自定义的材料模型。这就是所谓的VUMAT子例程，它是用Fortran编写的。Fortran是一种非常老的，但在科学和工程领域仍然广泛使用的编程语言。

下面我们就要开始探讨如何编写VUMAT子例程。我将通过简单明了的步骤和示例代码来指导大家。

VUMAT 子例程结构

我们首先需要理解Abaqus VUMAT子例程的基本结构。虽然每个VUMAT都有其独特性，但所有VUMAT子例程都遵循同一种基本结构。这种结构主要包含以下几个部分：

• 常量定义：这部分代码定义了在子例程中使用的所有常数。例如，材料属性（如杨氏模量和泊松比）和一些有限元分析需要的特定常数。

• 变量声明：这部分代码定义了所有要在子例程中使用的变量。这包括状态变量、应力、应变等。

• 材料模型实现：这部分代码实现了实际的材料模型。在我们的情况下，这将是Neo-Hookean模型的实现。

• 更新应力和状态变量：这部分代码根据材料模型的结果更新应力和状态变量。

接下来，我们将详细解释这些部分并提供相应的Fortran代码。首先，我们从常量定义和变量声明开始。

!VUMAT for Neo-Hookean Material
    SUBROUTINE VUMAT(NDIM,NNBLOCK,NOEL,NPT,NCRD,NTENS,NSTATV,
    PROPS,NPROPS,COORDS,PNEWDT,DROT,F,J,TIME,DTIME,TEMP,
    DTEMP,CMNAME,NDI,NSHR,NOEL8,NPT8,LAYER,KSPT,KSPT8,
    KSTEP,KINC)

    ! Include files
    INCLUDE 'ABA_PARAM.INC'

    ! Parameter definitions
    CHARACTER*80 CMNAME
    DIMENSION COORDS(3),F(3,3),J(NTENS),DROT(3,3),PNEWDT(1)
    DIMENSION PROPS(NPROPS),TIME(2),TEMP(NPT,NEL8),
    DTEMP(NPT,NEL8)
    DIMENSION STRESS(NTENS),DDSDDE(NTENS,NTENS),
    STATEV(NSTATV)

    ! Constant definitions
    PARAMETER (ONE=1.0D0, TWO=2.0D0, HALF=0.5D0, THIRD=1.0D0/3.0D0,
    SIXTH=1.0D0/6.0D0, ZERO=0.0D0)

    ! Variable definitions
    DOUBLE PRECISION STRESS, STATEV, DDSDDE, VOL, BULK, SHEAR, FINV, C,
    I1, J2, SIGMA, STRAN, HYDRO, SDEV, SSE, SPRESS, S, CINV, CTRIAL,
    SDTRIAL, STRIAL, YIELD, R, GAMMA
    INTEGER I, ID(4)

以上就是我们VUMAT子例程的常量定义和变量声明部分的代码。在下一部分中，我们将介绍如何实现Neo-Hookean材料模型。

第二部分

Neo-Hookean模型的实现

Neo-Hookean材料的模型基于一维的线性弹性胡克定律，但它考虑了三维空间中的变形并包括了大变形。它的应力-应变关系可以写成：

其中，C是材料常数，I1是左Cauchy-Green变形张量的矩阵迹。

这个公式是非常简单的，但是实现这个模型的代码可能会比较复杂，因为我们需要在Fortran中实现所有必要的矩阵运算，并处理所有的材料点和元素。具体代码如下：

! Read material properties
BULK = PROPS(1)
SHEAR = PROPS(2)

! Loop over all integration points
DO L=1, LSTEP
  ! Compute deformation gradient
  CALL DEFGRD(F, STRAN, DROT, NDI, NSHR)

  ! Compute inverse of deformation gradient
  CALL INV3X3(F, FINV)

  ! Compute left Cauchy-Green deformation tensor
  C = ZERO
  DO I=1, NDIM
    DO J=1, NDIM
      DO K=1, NDIM
        C(I,J) = C(I,J) + F(I,K) * F(J,K)
      END DO
    END DO
  END DO

  ! Compute the trace of the left Cauchy-Green deformation tensor
  I1 = C(1,1) + C(2,2) + C(3,3)

  ! Compute the 2nd invariant of the deviatoric part of the left Cauchy-Green deformation tensor
  J2 = HALF * ((C(1,1)**2 + C(2,2)**2 + C(3,3)**2) - (C(1,2)**2 + C(2,3)**2 + C(1,3)**2))

  ! Compute the Cauchy stress
  SIGMA = BULK * LOG(J) + SHEAR * (I1 - 3)
  
  ! Update the stress tensor
  DO I=1, NDI
    STRESS(I) = SIGMA
  END DO
  DO I=NDI+1, NDIM
    STRESS(I) = SHEAR * (C(I) - 1)
  END DO
END DO

这段代码计算了在每个积分点上的应力，并将结果保存在了STRESS变量中。注意这个代码中的大部分计算都是标量运算，这使得它在Fortran中相对容易实现。只有几个地方需要进行矩阵运算，例如计算变形梯度的逆以及左Cauchy-Green变形张量。这些运算在Fortran中也可以直接使用库函数进行。

上述代码只计算了应力，但在一般的材料模型中，我们还需要计算切线刚度矩阵。在下一部分，我们将讨论如何计算这个矩阵，并提供相应的代码。

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第三部分

计算切线刚度矩阵

切线刚度矩阵是材料应力对应变的导数。对于Neo-Hookean材料，切线刚度矩阵的形式可以通过求解应力公式的导数得到。然而，由于我们在计算中考虑了大变形，我们需要使用更新的拉格朗日坐标系下的切线刚度矩阵。此处，我会给出一个简化的版本，其实现代码如下：

! Compute tangent stiffness matrix
CALL TANGENT(DDSDDE, C, BULK, SHEAR, FINV, NDI, NSHR)

SUBROUTINE TANGENT(DDSDDE, C, BULK, SHEAR, FINV, NDI, NSHR)
  IMPLICIT NONE
  DIMENSION DDSDDE(NTENS,NTENS), C(3,3), FINV(3,3)
  DOUBLE PRECISION BULK, SHEAR
  INTEGER NDI, NSHR, I, J, K, L

  ! Compute the tangent stiffness matrix
  DO I=1, NDI
    DO J=1, NDI
      DO K=1, NDI
        DO L=1, NDI
          DDSDDE(I,J,K,L) = BULK * FINV(I,K) * FINV(J,L) +
                            SHEAR * (FINV(I,L) * FINV(J,K) + FINV(I,J) * FINV(K,L) - 
                                     2 * THIRD * C(K,L) * FINV(I,J))
        END DO
      END DO
    END DO
  END DO

  RETURN
END SUBROUTINE TANGENT

上述代码实现了Neo-Hookean材料的切线刚度矩阵。请注意，该矩阵是一个四阶张量，因此在Fortran代码中，我们需要使用四重循环来计算所有的元素。

总结

到此为止，我们已经讨论了如何编写用于Neo-Hookean材料的Abaqus VUMAT子例程的所有主要部分。这个过程涉及到了很多高级的概念，包括有限元分析、材料模型、大变形以及切线刚度矩阵。尽管这是一个复杂的过程，但我希望通过我的解释和示例代码，你已经对如何进行这样的编程有了更深的理解。

我非常期待你们对这篇文章的反馈，我愿意根据你们的反馈和建议来不断改进我的内容。如果你有任何问题，也请随时向我提问。在接下来的文章中，我会继续探讨更多有关Abaqus和Fortran编程的高级主题。希望我们可以一起学习，一起进步。

这个示例仅仅是一个简单的开始，实际使用中需要根据实际材料特性进行更多复杂的建模。VUMAT子例程编写需要具备一定的理论基础和编程经验，不断试错和学习是成长的必经之路。相信在大家的努力下，一定可以编写出更加强大和完善的子例程，以解决更加复杂的工程问题。