奈氏准则、香农公式、最大码元速率与最大信息速率

前言

本篇博客从奈氏准则和香农公式入手，层层深入，举例说明，详细分析了奈氏准则，香农公式，最大码元传输速率与最大信息传输速率的关系。

奈氏准则

定义

在带宽为 W（Hz）的低通信道中，若不考虑噪声影响，则码元传输最高速率是 2 W（码元/秒），信息最高速率与信号状态（V）数有关，默认 V = 2，即极限信息传输速率为 2 W。

① 无噪声（理想状态）
② 码元极限传输速率： 2 W 2W 2W
③ 极限信息传输速率： 2 W l o g 2 V 2Wlog_2V 2Wlog2​V
④ W：带宽（Hz） V：信号状态数（几种码元）

香农公式

信噪比

信噪比 ( d B ) = 10 l o g 10 ( S / N ) ( d B ) 信噪比(dB) = 10 log_{10}(S/N) (dB) 信噪比(dB)=10log10​(S/N)(dB)

① S：信号的平均功率
② N：噪声的平均功率
③ 注：一般问题里的"信噪比"指的是公式左边的信噪比，不是右边（S/N）

香农公式

① 有噪声
② 极限信息传输速率： C = W l o g 2 ( 1 + S / N ) ( b i t / s ) C = Wlog_2(1+S/N) (bit/s) C=Wlog2​(1+S/N)(bit/s)
③ 最大码元传输速率： c = C / l o g 2 V c = C/log_2V c=C/log2​V
③ W：带宽（Hz） V：信号状态数（几种码元） S/N：信噪比

举例说明

1. 若信道在无噪声情况下的极限传输速率不小于信噪比为 30 dB 条件下的极限数据传输速率，则信号状态数至少是（ ）。
   A. 4
   B. 8
   C. 16
   D. 32
   分析：
   ① 问题求什么 → 信号状态数
   ② 无噪声 → 奈氏准则，有噪声 → 香农公式
   ③ 因为信噪比为 30 dB，由信噪比的公式 30 = 10 l o g 10 S / N 30=10log_{10}S/N 30=10log10​S/N 得 S / N = 1000 S/N=1000 S/N=1000
   ④ 假设信号状态数为X，则有 2 W l o g 2 X > = W l o g 2 ( S / N + 1 ) 2Wlog_2X>=Wlog_2(S/N+1) 2Wlog2​X>=Wlog2​(S/N+1)
   ⑤ W l o g 2 ( S / N + 1 ) ≈ 10 W Wlog_2(S/N+1)≈10W Wlog2​(S/N+1)≈10W
   ⑥ 即 2 W l o g 2 X > = 10 W → l o g 2 X > = 5 2Wlog_2X>=10W→log_2X>=5 2Wlog2​X>=10W→log2​X>=5
   ⑦ 解得 X > = 32 X>=32 X>=32，选择 D

2. 在一条带宽为 200 kHz 的无噪声信道上，若采用 4 个幅值的 ASK 调制，则该信道的最大数据传输速率是（ ）。
   A. 200kb/s
   B. 400kb/s
   C. 800kb/s
   D. 1600kb/s
   分析：
   ① 问题求什么 → 最大数据传输速率（极限信息传输速率）
   ② 无噪声 → 奈氏准则
   ③ 带宽为 200 kHz → W = 200
   ④ 4 个幅值 → V = 4
   ⑤ 公式： 2 W l o g 2 V → 2 ∗ 200 ∗ l o g 2 4 = 800 2Wlog_2V→2*200*log_24=800 2Wlog2​V→2∗200∗log2​4=800
   ⑥ 选择 C

3. 在无噪声情况下，若某通信链路的带宽为 3 kHz，采用 4 个相位，每个相位具有 4 种振幅的 QAM 调制技术，则该通信链路的最大数据传输速率是（ ）。
   A. 12 kbps
   B. 24 kbps
   C. 48 kbps
   C. 96 kbps
   分析
   ① 问题求什么 → 最大数据传输速率（极限信息传输速率）
   ② 无噪声 → 奈氏准则
   ③ 带宽为 3 kHz → W = 3 W=3 W=3
   ④ 采用 4 个相位，每个相位具有 4 种振幅 → V = 4 ∗ 4 = 16 V=4*4=16 V=4∗4=16
   ⑤ 公式： 2 W l o g 2 V → 2 ∗ 3 ∗ l o g 2 16 = 24 2Wlog_2V→2*3*log_216=24 2Wlog2​V→2∗3∗log2​16=24
   ⑥ 选择 B

4. 设码元速率为 3600 Baud，调制电平数为 8，则数据传输速率为（ ）bps。
   A. 1200
   B. 7200
   C. 10800
   D. 14400
   分析
   ① 问题求什么 → 数据传输速率（信息传输速率）
   ② 数据传输速率 = 码元速率 * l o g 2 V log_2V log2​V
   ③ V = 8 → C = 3600 ∗ l o g 2 8 = 10800 V = 8→ C = 3600 * log_28 = 10800 V=8→C=3600∗log2​8=10800

5. 已知: S / N= 30 dB，带宽 B = 3000 Hz，采用 QPSK-8 调制方式，则最大码元速率为 10000 波特（baud）。
   解析
   ① 问题求什么 → 最大码元速率
   ② 有噪声 → 香农公式
   ③ 先算最大信息传输速率： 30 = 10 l o g 10 ( S / N ) → ( S / N ) = 1000 → C = W l o g 2 ( S / N + 1 ) ≈ 3000 ∗ 10 = 30000 30=10log_{10}(S/N)→(S/N)=1000→C=Wlog_2(S/N+1)≈3000*10=30000 30=10log10​(S/N)→(S/N)=1000→C=Wlog2​(S/N+1)≈3000∗10=30000
   ④ 再计算最大码元速率： c = C / l o g 2 8 = 30000 / 3 = 10000 b a u d c=C/log_28=30000/3=10000 baud c=C/log2​8=30000/3=10000baud

6. 已知: 数据传输速率为 14400 bps，多相调制的相数 k = 16，则码元速率为 3600 波特（baud）。
   解析
   ① 问题求什么 → 码元速率
   ② 默认无噪声，奈氏准则
   ③ 码元速率 = 数据传输速率/ l o g 2 k log_2k log2​k = 14400 / 4 = 3600 baud

7. 已知: S / N = 30 dB，带宽B = 4000 Hz，根据香农公式，求: 有限带宽、有热噪声信道的最大信息传输速率为 40 kbps。
   解析
   ① 问题求什么 → 最大信息传输速率
   ② 香农公式
   ③ 信噪比 30 = 10 l o g 10 ( S / N ) → S / N = 1000 30=10log{10}(S/N)→S/N=1000 30=10log10(S/N)→S/N=1000
   ④ C = W l o g 2 ( 1 + S / N ) = 4000 ∗ l o g 2 1001 ≈ 40000 b p s = 40 k b p s C=Wlog_2(1+S/N)=4000*log_21001≈40000bps=40kbps C=Wlog2​(1+S/N)=4000∗log2​1001≈40000bps=40kbps

8. 已知: 电话线路带宽 B = 3000 Hz，根据奈氏准则，求: 无噪声信道的最大码元传输速率为 6000 波特（baud）。
   解析
   ① 问题求什么 → 最大码元传输速率
   ② 无噪声 → 奈氏准则
   ③ c = 2W = 6000 baud

9. 对于带宽为 10 kHz 的信道，若有 16 种不同的物理状态来表示数据，信噪比为 20 dB。问：按 Nyquist 定理和 Shannon 定理，最大限制的数据速率分别是多少？
   解：
   ① 问题求什么 → 最大限制的数据速率
   ② 奈氏定理 → 2 W l o g 2 V → 2 ∗ 10 ∗ l o g 2 16 = 80 k b p s 2Wlog_2V→2*10*log_216=80kbps 2Wlog2​V→2∗10∗log2​16=80kbps
   ③ 香农定理 → 20 = 10 l o g 10 ( S / N ) → S / N = 100 → W l o g 2 ( S / N + 1 ) → 10 ∗ l o g 2 101 ≈ 70 k b p s 20=10log_{10}(S/N)→S/N=100→Wlog_2(S/N+1)→10*log_2101≈70kbps 20=10log10​(S/N)→S/N=100→Wlog2​(S/N+1)→10∗log2​101≈70kbps

尾声

简单来说，本类题型解题公式如下：

① 问题求什么
② 判断有无噪声
③ 带入公式