前言
本篇博客从奈氏准则和香农公式入手,层层深入,举例说明,详细分析了奈氏准则,香农公式,最大码元传输速率与最大信息传输速率的关系。
奈氏准则
定义
在带宽为 W(Hz)的低通信道中,若不考虑噪声影响,则码元传输最高速率是 2 W(码元/秒),信息最高速率与信号状态(V)数有关,默认 V = 2,即极限信息传输速率为 2 W。
① 无噪声(理想状态)
② 码元极限传输速率: 2 W 2W 2W
③ 极限信息传输速率: 2 W l o g 2 V 2Wlog_2V 2Wlog2V
④ W:带宽(Hz) V:信号状态数(几种码元)
香农公式
信噪比
信噪比 ( d B ) = 10 l o g 10 ( S / N ) ( d B ) 信噪比(dB) = 10 log_{10}(S/N) (dB) 信噪比(dB)=10log10(S/N)(dB)
① S:信号的平均功率
② N:噪声的平均功率
③ 注:一般问题里的"信噪比"指的是公式左边的信噪比,不是右边(S/N)
香农公式
① 有噪声
② 极限信息传输速率: C = W l o g 2 ( 1 + S / N ) ( b i t / s ) C = Wlog_2(1+S/N) (bit/s) C=Wlog2(1+S/N)(bit/s)
③ 最大码元传输速率: c = C / l o g 2 V c = C/log_2V c=C/log2V
③ W:带宽(Hz) V:信号状态数(几种码元) S/N:信噪比
举例说明
-
若信道在无噪声情况下的极限传输速率不小于信噪比为 30 dB 条件下的极限数据传输速率,则信号状态数至少是( )。
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
分析:
① 问题求什么 → 信号状态数
② 无噪声 → 奈氏准则,有噪声 → 香农公式
③ 因为信噪比为 30 dB,由信噪比的公式 30 = 10 l o g 10 S / N 30=10log_{10}S/N 30=10log10S/N 得 S / N = 1000 S/N=1000 S/N=1000
④ 假设信号状态数为X,则有 2 W l o g 2 X > = W l o g 2 ( S / N + 1 ) 2Wlog_2X>=Wlog_2(S/N+1) 2Wlog2X>=Wlog2(S/N+1)
⑤ W l o g 2 ( S / N + 1 ) ≈ 10 W Wlog_2(S/N+1)≈10W Wlog2(S/N+1)≈10W
⑥ 即 2 W l o g 2 X > = 10 W → l o g 2 X > = 5 2Wlog_2X>=10W→log_2X>=5 2Wlog2X>=10W→log2X>=5
⑦ 解得 X > = 32 X>=32 X>=32,选择 D -
在一条带宽为 200 kHz 的无噪声信道上,若采用 4 个幅值的 ASK 调制,则该信道的最大数据传输速率是( )。
A. 200kb/s
B. 400kb/s
C. 800kb/s
D. 1600kb/s
分析:
① 问题求什么 → 最大数据传输速率(极限信息传输速率)
② 无噪声 → 奈氏准则
③ 带宽为 200 kHz → W = 200
④ 4 个幅值 → V = 4
⑤ 公式: 2 W l o g 2 V → 2 ∗ 200 ∗ l o g 2 4 = 800 2Wlog_2V→2*200*log_24=800 2Wlog2V→2∗200∗log24=800
⑥ 选择 C -
在无噪声情况下,若某通信链路的带宽为 3 kHz,采用 4 个相位,每个相位具有 4 种振幅的 QAM 调制技术,则该通信链路的最大数据传输速率是( )。
A. 12 kbps
B. 24 kbps
C. 48 kbps
C. 96 kbps
分析
① 问题求什么 → 最大数据传输速率(极限信息传输速率)
② 无噪声 → 奈氏准则
③ 带宽为 3 kHz → W = 3 W=3 W=3
④ 采用 4 个相位,每个相位具有 4 种振幅 → V = 4 ∗ 4 = 16 V=4*4=16 V=4∗4=16
⑤ 公式: 2 W l o g 2 V → 2 ∗ 3 ∗ l o g 2 16 = 24 2Wlog_2V→2*3*log_216=24 2Wlog2V→2∗3∗log216=24
⑥ 选择 B -
设码元速率为 3600 Baud,调制电平数为 8,则数据传输速率为( )bps。
A. 1200
B. 7200
C. 10800
D. 14400
分析
① 问题求什么 → 数据传输速率(信息传输速率)
② 数据传输速率 = 码元速率 * l o g 2 V log_2V log2V
③ V = 8 → C = 3600 ∗ l o g 2 8 = 10800 V = 8→ C = 3600 * log_28 = 10800 V=8→C=3600∗log28=10800 -
已知: S / N= 30 dB,带宽 B = 3000 Hz,采用 QPSK-8 调制方式,则最大码元速率为 10000 波特(baud)。
解析
① 问题求什么 → 最大码元速率
② 有噪声 → 香农公式
③ 先算最大信息传输速率: 30 = 10 l o g 10 ( S / N ) → ( S / N ) = 1000 → C = W l o g 2 ( S / N + 1 ) ≈ 3000 ∗ 10 = 30000 30=10log_{10}(S/N)→(S/N)=1000→C=Wlog_2(S/N+1)≈3000*10=30000 30=10log10(S/N)→(S/N)=1000→C=Wlog2(S/N+1)≈3000∗10=30000
④ 再计算最大码元速率: c = C / l o g 2 8 = 30000 / 3 = 10000 b a u d c=C/log_28=30000/3=10000 baud c=C/log28=30000/3=10000baud -
已知: 数据传输速率为 14400 bps,多相调制的相数 k = 16,则码元速率为 3600 波特(baud)。
解析
① 问题求什么 → 码元速率
② 默认无噪声,奈氏准则
③ 码元速率 = 数据传输速率/ l o g 2 k log_2k log2k = 14400 / 4 = 3600 baud -
已知: S / N = 30 dB,带宽B = 4000 Hz,根据香农公式,求: 有限带宽、有热噪声信道的最大信息传输速率为 40 kbps。
解析
① 问题求什么 → 最大信息传输速率
② 香农公式
③ 信噪比 30 = 10 l o g 10 ( S / N ) → S / N = 1000 30=10log{10}(S/N)→S/N=1000 30=10log10(S/N)→S/N=1000
④ C = W l o g 2 ( 1 + S / N ) = 4000 ∗ l o g 2 1001 ≈ 40000 b p s = 40 k b p s C=Wlog_2(1+S/N)=4000*log_21001≈40000bps=40kbps C=Wlog2(1+S/N)=4000∗log21001≈40000bps=40kbps -
已知: 电话线路带宽 B = 3000 Hz,根据奈氏准则,求: 无噪声信道的最大码元传输速率为 6000 波特(baud)。
解析
① 问题求什么 → 最大码元传输速率
② 无噪声 → 奈氏准则
③ c = 2W = 6000 baud -
对于带宽为 10 kHz 的信道,若有 16 种不同的物理状态来表示数据,信噪比为 20 dB。问:按 Nyquist 定理和 Shannon 定理,最大限制的数据速率分别是多少?
解:
① 问题求什么 → 最大限制的数据速率
② 奈氏定理 → 2 W l o g 2 V → 2 ∗ 10 ∗ l o g 2 16 = 80 k b p s 2Wlog_2V→2*10*log_216=80kbps 2Wlog2V→2∗10∗log216=80kbps
③ 香农定理 → 20 = 10 l o g 10 ( S / N ) → S / N = 100 → W l o g 2 ( S / N + 1 ) → 10 ∗ l o g 2 101 ≈ 70 k b p s 20=10log_{10}(S/N)→S/N=100→Wlog_2(S/N+1)→10*log_2101≈70kbps 20=10log10(S/N)→S/N=100→Wlog2(S/N+1)→10∗log2101≈70kbps
尾声
简单来说,本类题型解题公式如下:
① 问题求什么
② 判断有无噪声
③ 带入公式