已知，
ln ( x + 1 + x 2 ) 为奇函数（证明放在文章末尾） \ln (x+\sqrt{1+x^2})为奇函数（证明放在文章末尾） ln(x+1+x2 )为奇函数（证明放在文章末尾）
所以， ∫ − 2 2 ln ( x + 1 + x 2 ) = 0 所以，\int_{-2}^{2}\ln (x+\sqrt{1+x^2})=0 所以，∫−22ln(x+1+x2 )=0
故原式 = ∫ − 2 2 1 − x 2 4 d x 故原式=\int_{-2}^{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\,{\rm d}x 故原式=∫−221−4x2 dx
= 2 ∫ 0 2 1 2 4 − x 2 d x =2\int_{0}^{2}\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\,{\rm d}x =2∫02214−x2 dx
= ∫ 0 2 4 − x 2 d x =\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}\,{\rm d}x =∫024−x2 dx
此时，可以利用三角换元来做，但是更好的方法利用其几何意义。
上积分的几何意义表示的为
x 2 + y 2 = 4 这个圆在第一象限的面积，即为 π . x^2+y^2=4这个圆在第一象限的面积，即为\pi. x2+y2=4这个圆在第一象限的面积，即为π.
故原式等于 π 故原式等于\pi 故原式等于π
定积分的几何意义：
∫ 0 a a 2 − x 2 = π a 2 4 \int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}=\frac{\pi a^2}{4} ∫0aa2−x2 =4πa2
∫ 0 a 2 a x − x 2 = π a 2 4 \int_{0}^{a}\sqrt{2ax-x^2}=\frac{\pi a^2}{4} ∫0a2ax−x2 =4πa2
∫ 0 2 a 2 a x − x 2 = π a 2 2 \int_{0}^{2a}\sqrt{2ax-x^2}=\frac{\pi a^2}{2} ∫02a2ax−x2 =2πa2
下证明函数为奇函数
令 f ( x ) = ln ( x + 1 + x 2 ) 令f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2}) 令f(x)=ln(x+1+x2 )
f ( − x ) + f ( x ) = ln ( − x + 1 + x 2 ) + ln ( x + 1 + x 2 ) f(-x)+f(x)=\ln(-x+\sqrt{1+x^2})+\ln (x+\sqrt{1+x^2}) f(−x)+f(x)=ln(−x+1+x2 )+ln(x+1+x2 )
= ln ( − x + 1 + x 2 ) ( x + 1 + x 2 ) =\ln (-x+\sqrt{1+x^2})(x+\sqrt{1+x^2}) =ln(−x+1+x2 )(x+1+x2 )
= ln ( ( 1 + x 2 ) − x 2 ) = ln 1 = 0 =\ln ((1+x^2)-x^2)=\ln 1=0 =ln((1+x2)−x2)=ln1=0
故 f ( x ) = ln ( x + 1 + x 2 ) 为奇函数。 故f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})为奇函数。 故f(x)=ln(x+1+x2 )为奇函数。