∫ 0 1 arcsin x x ( 1 − x ) d x \int_{0}^{1}\frac{\arcsin {\sqrt{x}}}{\sqrt{x(1-x)}}\,{\rm d}x ∫01x(1−x) arcsinx dx
原式
= ∫ 0 1 2 arcsin x d x 1 − ( x ) 2 =\int_{0}^{1}\frac{2\arcsin {\sqrt{x}\,{\rm d}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^{2}}} =∫011−(x )2 2arcsinx dx
令 t = x 令t=\sqrt{x} 令t=x
原式 = 2 ∫ 0 1 arcsin t d t 1 − t 2 原式=2\int_{0}^{1}\frac{\arcsin t\,{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} 原式=2∫011−t2 arcsintdt
= 2 ∫ 0 1 arcsin t d ( arcsin t ) =2\int_{0}^{1}\arcsin t\,{\rm d}{(\arcsin t)} =2∫01arcsintd(arcsint)
= 2 × 1 2 ( arcsin t ) 2 ∣ 0 1 =2\times \frac{1}{2}(\arcsin t)^{2}|_{0}^{1} =2×21(arcsint)2∣01
= π 2 4 =\frac{\pi ^2}{4} =4π2