[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-3(1) 刚体的位形 Configuration of Rigid Body

机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-3 刚体的位形 Configuration of Rigid Body Part1

• 3. 转换矩阵与旋转矩阵——刚体的位置与姿态描述

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刚体的位形可以用六个独立（坐标）参数完全描述：三个位置参数用于描述运动刚体上运动坐标系 { M } \left\{ M \right\} {M}原点 M M M在固定坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F}的投影参数，三个转动参数用于描述运动坐标系 { M } \left\{ M \right\} {M}的基矢量相对于固定坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F}的基矢量的姿态，而描述这种姿态的变换，则是需要确定矩阵 [ Q M F ] \left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] [QMF​]。

因此为描述空间坐标系中任意一刚体的运动状态，首先需要描述刚体的位置矢量 R ⃗ M F \vec{R}_{\mathrm{M}}^{F} R MF​与姿态矩阵 [ Q M F ] \left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] [QMF​]

• 广义参考系坐标 Reference Coordinates：为方便后续动力学方程的建立与推导，常用广义坐标矢量参数 q ⃗ M F \vec{q}_{\mathrm{M}}^{F} q ​MF​来描述运动刚体的形位，其中：
  q ⃗ M F = [ R ⃗ M F , θ ⃗ M F ] \vec{q}_{\mathrm{M}}^{F}=\left[ \vec{R}_{\mathrm{M}}^{F},\vec{\theta}_{\mathrm{M}}^{F} \right] q ​MF​=[R MF​,θ MF​]
• θ ⃗ M F \vec{\theta}_{\mathrm{M}}^{F} θ MF​可以用多种方法来描述（通常包含3或4个角度参数 ），这些角度参数用于描述矩阵 [ Q M F ] \left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] [QMF​]

对于刚体的运动状态而言，其运动坐标系的原点 M M M的位置矢量 R ⃗ M F \vec{R}_{\mathrm{M}}^{F} R MF​表示与点的运动状态表示相同，因此需要探究如何用角度参数来描述转换矩阵。

3. 转换矩阵与旋转矩阵——刚体的位置与姿态描述

转换矩阵用于表述两个坐标系 { A : ( i ⃗ A , j ⃗ A , k ⃗ A ) } \left\{ A:\left( \vec{i}^A,\vec{j}^A,\vec{k}^A \right) \right\} {A:(i A,j ​A,k A)} 与 { B : ( i ⃗ B , j ⃗ B , k ⃗ B ) } \left\{ B:\left( \vec{i}^B,\vec{j}^B,\vec{k}^B \right) \right\} {B:(i B,j ​B,k B)}的基矢量之间的转换关系：
[ i ⃗ B j ⃗ B k ⃗ B ] = [ Q B A ] T [ i ⃗ A j ⃗ A k ⃗ A ] \left[ \begin{array}{c} \vec{i}^B\\ \vec{j}^B\\ \vec{k}^B\\ \end{array} \right] =\left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] ​i Bj ​Bk B​ ​=[QBA​]T ​i Aj ​Ak A​ ​
其中，转换矩阵 [ Q B A ] T \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] ^{\mathrm{T}} [QBA​]T表示坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}的基矢量在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}中的表达，可将向量在不同的基矢量坐标系下进行表示。特殊的：若将基矢量替换成对应基矢量的向量投影，则可以表示为：两个原点重合的坐标系中，对同一向量的不同表达的转换关系；

上式也可以理解为：对坐标系 { A : ( i ⃗ A , j ⃗ A , k ⃗ A ) } \left\{ A:\left( \vec{i}^A,\vec{j}^A,\vec{k}^A \right) \right\} {A:(i A,j ​A,k A)}进行了 [ Q B A ] \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] [QBA​]的旋转，此时将转换矩阵与向量的运算理解为张量与向量的运算，即得到了旋转后的向量在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}中的表达，此时实际上，对原始坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}的基矢量同样进行了旋转，形成了新坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}的基矢量，其仍在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}下表达。

[ r 1 A ′ r 2 A ′ r 3 A ′ ] = [ Q B A ] [ r 1 A r 2 A r 3 A ] \left[ \begin{array}{c} {r_{1}^{A}}^{\prime}\\ {r_{2}^{A}}^{\prime}\\ {r_{3}^{A}}^{\prime}\\ \end{array} \right] =\left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] \left[ \begin{array}{c} r_{1}^{A}\\ r_{2}^{A}\\ r_{3}^{A}\\ \end{array} \right] ​r1A​′r2A​′r3A​′​ ​=[QBA​] ​r1A​r2A​r3A​​ ​

目前，人们采用不同的角度参数 θ ⃗ \vec{\theta} θ 来对旋转矩阵进行描述

3.1 轴角变换

假设两个坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}与 { B } \left\{ B \right\} {B}的原点重合，其中坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}为坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}绕轴 v ⃗ F \vec{v}^F v F（单位向量）旋转 θ \theta θ所得到的。因此对于坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}中的点 P P P，经过转换后，得到点 P ′ P^{\prime} P′，此时点 P ′ P^{\prime} P′在坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}中的矢量投影与点 P P P在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}中的投影分量相同。而在转换过程中，点 P ′ P^{\prime} P′在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}中的表达发生变化，即有： [ P ′ 1 B , P ′ 2 B , P ′ 2 B ] = [ P 1 A , P 2 A , P 2 A ] \left[ {P^{\prime}}_{1}^{\mathrm{B}},{P^{\prime}}_{2}^{\mathrm{B}},{P^{\prime}}_{2}^{\mathrm{B}} \right] =\left[ P_{1}^{A},P_{2}^{A},P_{2}^{A} \right] [P′1B​,P′2B​,P′2B​]=[P1A​,P2A​,P2A​]，因此对式 [ i ⃗ B j ⃗ B k ⃗ B ] = [ Q B A ] T [ i ⃗ A j ⃗ A k ⃗ A ] \left[ \begin{array}{c} \vec{i}^B\\ \vec{j}^B\\ \vec{k}^B\\ \end{array} \right] =\left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] ​i Bj ​Bk B​ ​=[QBA​]T ​i Aj ​Ak A​ ​有：
[ i ⃗ B j ⃗ B k ⃗ B ] T [ P 1 B P 2 B P 3 B ] = [ i ⃗ A j ⃗ A k ⃗ A ] T [ P 1 A P 2 A P 3 A ] ⇒ ( [ Q B A ] T [ i ⃗ A j ⃗ A k ⃗ A ] ) T [ P 1 B P 2 B P 3 B ] = [ i ⃗ A j ⃗ A k ⃗ A ] T [ P 1 A P 2 A P 3 A ] ⇒ [ i ⃗ A j ⃗ A k ⃗ A ] T [ Q B A ] [ P 1 B P 2 B P 3 B ] = [ i ⃗ A j ⃗ A k ⃗ A ] T [ P 1 A P 2 A P 3 A ] ⇒ [ Q B A ] [ P 1 B P 2 B P 3 B ] = [ P 1 A P 2 A P 3 A ] = [ P ′ 1 B P ′ 2 B P ′ 3 B ] \begin{split} &\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^B\\ \vec{j}^B\\ \vec{k}^B\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_{1}^{\mathrm{B}}\\ P_{2}^{\mathrm{B}}\\ P_{3}^{\mathrm{B}}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_{1}^{A}\\ P_{2}^{A}\\ P_{3}^{A}\\ \end{array} \right] \\ &\Rightarrow \left( \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] \right) ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_{1}^{\mathrm{B}}\\ P_{2}^{\mathrm{B}}\\ P_{3}^{\mathrm{B}}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_{1}^{A}\\ P_{2}^{A}\\ P_{3}^{A}\\ \end{array} \right] \\ &\Rightarrow \left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] \left[ \begin{array}{c} P_{1}^{\mathrm{B}}\\ P_{2}^{\mathrm{B}}\\ P_{3}^{\mathrm{B}}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_{1}^{A}\\ P_{2}^{A}\\ P_{3}^{A}\\ \end{array} \right] \\ &\Rightarrow \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] \left[ \begin{array}{c} P_{1}^{\mathrm{B}}\\ P_{2}^{\mathrm{B}}\\ P_{3}^{\mathrm{B}}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} P_{1}^{A}\\ P_{2}^{A}\\ P_{3}^{A}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} {P^{\prime}}_{1}^{\mathrm{B}}\\ {P^{\prime}}_{2}^{\mathrm{B}}\\ {P^{\prime}}_{3}^{\mathrm{B}}\\ \end{array} \right] \end{split} ​ ​i Bj ​Bk B​ ​T ​P1B​P2B​P3B​​ ​= ​i Aj ​Ak A​ ​T ​P1A​P2A​P3A​​ ​⇒ ​[QBA​]T ​i Aj ​Ak A​ ​ ​T ​P1B​P2B​P3B​​ ​= ​i Aj ​Ak A​ ​T ​P1A​P2A​P3A​​ ​⇒ ​i Aj ​Ak A​ ​T[QBA​] ​P1B​P2B​P3B​​ ​= ​i Aj ​Ak A​ ​T ​P1A​P2A​P3A​​ ​⇒[QBA​] ​P1B​P2B​P3B​​ ​= ​P1A​P2A​P3A​​ ​= ​P′1B​P′2B​P′3B​​ ​​
上式写明：坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}中，点 P P P与点 P ′ P^{\prime} P′之间的旋转关系。此时 P ′ P^{\prime} P′为运动刚体上的固定点，对点 P P P在坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}下的投影参数进行 [ Q B A ] T \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] ^{\mathrm{T}} [QBA​]T旋转变化所得到的点 P ′ P^{\prime} P′在坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}下的投影参数。同时，对于 P P P与 P ′ P^{\prime} P′而言，其在某坐标系下表达的旋转关系是一致的，因此对于： [ Q B A ] [ P 1 A P 2 A P 3 A ] = [ P ′ 1 A P ′ 2 A P ′ 3 A ] \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] \left[ \begin{array}{c} P_{1}^{A}\\ P_{2}^{A}\\ P_{3}^{A}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} {P^{\prime}}_{1}^{A}\\ {P^{\prime}}_{2}^{A}\\ {P^{\prime}}_{3}^{A}\\ \end{array} \right] [QBA​] ​P1A​P2A​P3A​​ ​= ​P′1A​P′2A​P′3A​​ ​同样成立。

同理，利用几何关系对图进行分析，进而求得罗德里格旋转公式Rodrigues’ Rotation Formula：
R ⃗ p ′ F = R ⃗ p F + ( v ⃗ F × R ⃗ p ′ F ) sin ⁡ θ + 2 [ v ⃗ F × ( v ⃗ F × R ⃗ p ′ F ) ] sin ⁡ 2 θ 2 = R ⃗ p F + v ⃗ ~ F R ⃗ p ′ F sin ⁡ θ + 2 ( v ⃗ ~ F ) 2 R ⃗ p ′ F sin ⁡ 2 θ 2 ⇒ R ⃗ p ′ F = [ E + v ⃗ ~ F sin ⁡ θ + 2 ( v ⃗ ~ F ) 2 sin ⁡ θ 2 ] R ⃗ p F = [ Q B A ] R ⃗ p F \begin{split} &\vec{R}_{\mathrm{p}^{\prime}}^{F}=\vec{R}_{\mathrm{p}}^{F}+\left( \vec{v}^F\times \vec{R}_{\mathrm{p}^{\prime}}^{F} \right) \sin \theta +2\left[ \vec{v}^F\times \left( \vec{v}^F\times \vec{R}_{\mathrm{p}^{\prime}}^{F} \right) \right] \sin ^2\frac{\theta}{2}=\vec{R}_{\mathrm{p}}^{F}+\tilde{\vec{v}}^F\vec{R}_{\mathrm{p}^{\prime}}^{F}\sin \theta +2\left( \tilde{\vec{v}}^F \right) ^2\vec{R}_{\mathrm{p}^{\prime}}^{F}\sin ^2\frac{\theta}{2} \\ &\Rightarrow \vec{R}_{\mathrm{p}^{\prime}}^{F}=\left[ E+\tilde{\vec{v}}^F\sin \theta +2\left( \tilde{\vec{v}}^F \right) ^2\sin \frac{\theta}{2} \right] \vec{R}_{\mathrm{p}}^{F}=\left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] \vec{R}_{\mathrm{p}}^{F} \end{split} ​R p′F​=R pF​+(v F×R p′F​)sinθ+2[v F×(v F×R p′F​)]sin22θ​=R pF​+v ~FR p′F​sinθ+2(v ~F)2R p′F​sin22θ​⇒R p′F​=[E+v ~Fsinθ+2(v ~F)2sin2θ​]R pF​=[QBA​]R pF​​

而上式给出了：坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}中，点 P P P与点 P ′ P^{\prime} P′之间的转换关系。此时 P P P为运动刚体上的固定点，对点 P P P在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}下的投影参数进行 [ Q B A ] \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] [QBA​]旋转变化，所得到的点 P ′ P^{\prime} P′在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}下的投影参数。

对罗德里格旋转公式进一步进行变换，将其改写为 [ Q B A ] = E + v ⃗ ~ F sin ⁡ θ + 2 ( v ⃗ ~ F ) 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] =E+\tilde{\vec{v}}^F\sin \theta +2\left( \tilde{\vec{v}}^F \right) ^2\left( 1-\cos \theta \right) [QBA​]=E+v ~Fsinθ+2(v ~F)2(1−cosθ)，进而利用泰勒展开式，将旋转矩阵 [ Q B A ] \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] [QBA​]进一步改写：
[ Q B A ] = E + θ v ⃗ ~ F + ( θ ) 2 2 ! ( v ⃗ ~ ) 2 + ( θ ) 3 3 ! ( v ⃗ ~ ) 3 + ⋯ + ( θ ) n n ! ( v ⃗ ~ ) n = e θ v ⃗ ~ \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] =E+\theta \tilde{\vec{v}}^F+\frac{\left( \theta \right) ^2}{2!}\left( \tilde{\vec{v}} \right) ^2+\frac{\left( \theta \right) ^3}{3!}\left( \tilde{\vec{v}} \right) ^3+\cdots +\frac{\left( \theta \right) ^n}{n!}\left( \tilde{\vec{v}} \right) ^n=e^{\theta \tilde{\vec{v}}} [QBA​]=E+θv ~F+2!(θ)2​(v ~)2+3!(θ)3​(v ~)3+⋯+n!(θ)n​(v ~)n=eθv ~
可将轴角变换的转换矩阵写成指数形式。

• 综合上述推导，可得到轴角变换的旋转矩阵 [ Q B A ] \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] [QBA​]为：
  [ Q B A ] = [ ( v 1 A ) 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) + cos ⁡ θ v 1 A v 2 A ( 1 − cos ⁡ θ ) − v 3 A sin ⁡ θ v 1 A v 3 A ( 1 − cos ⁡ θ ) + v 2 A sin ⁡ θ v 1 A v 2 A ( 1 − cos ⁡ θ ) + v 3 A sin ⁡ θ ( v 2 A ) 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) + cos ⁡ θ v 2 A v 3 A ( 1 − cos ⁡ θ ) − v 1 A sin ⁡ θ v 1 A v 3 A ( 1 − cos ⁡ θ ) − v 2 A sin ⁡ θ v 2 A v 3 A ( 1 − cos ⁡ θ ) + v 1 A sin ⁡ θ ( v 3 A ) 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) + cos ⁡ θ ] \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] =\left[ \begin{matrix} \left( v_{1}^{A} \right) ^2\left( 1-\cos \theta \right) +\cos \theta& v_{1}^{A}v_{2}^{A}\left( 1-\cos \theta \right) -v_{3}^{A}\sin \theta& v_{1}^{A}v_{3}^{A}\left( 1-\cos \theta \right) +v_{2}^{A}\sin \theta\\ v_{1}^{A}v_{2}^{A}\left( 1-\cos \theta \right) +v_{3}^{A}\sin \theta& \left( v_{2}^{A} \right) ^2\left( 1-\cos \theta \right) +\cos \theta& v_{2}^{A}v_{3}^{A}\left( 1-\cos \theta \right) -v_{1}^{A}\sin \theta\\ v_{1}^{A}v_{3}^{A}\left( 1-\cos \theta \right) -v_{2}^{A}\sin \theta& v_{2}^{A}v_{3}^{A}\left( 1-\cos \theta \right) +v_{1}^{A}\sin \theta& \left( v_{3}^{A} \right) ^2\left( 1-\cos \theta \right) +\cos \theta\\ \end{matrix} \right] [QBA​]= ​(v1A​)2(1−cosθ)+cosθv1A​v2A​(1−cosθ)+v3A​sinθv1A​v3A​(1−cosθ)−v2A​sinθ​v1A​v2A​(1−cosθ)−v3A​sinθ(v2A​)2(1−cosθ)+cosθv2A​v3A​(1−cosθ)+v1A​sinθ​v1A​v3A​(1−cosθ)+v2A​sinθv2A​v3A​(1−cosθ)−v1A​sinθ(v3A​)2(1−cosθ)+cosθ​ ​

• 同理对于任意一已知旋转矩阵 [ Q B A ] = [ q 11 q 12 q 13 q 21 q 22 q 23 q 31 q 32 q 33 ] \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] =\left[ \begin{matrix} q_{11}& q_{12}& q_{13}\\ q_{21}& q_{22}& q_{23}\\ q_{31}& q_{32}& q_{33}\\ \end{matrix} \right] [QBA​]= ​q11​q21​q31​​q12​q22​q32​​q13​q23​q33​​ ​，可计算出其轴角参数：
  θ = a r c cos ⁡ ( q 11 + q 22 + q 33 − 1 2 ) v ⃗ F = 1 2 sin ⁡ θ [ q 32 − q 23 q 13 − q 31 q 21 − q 12 ] \begin{split} \theta &=\mathrm{arc}\cos \left( \frac{q_{11}+q_{22}+q_{33}-1}{2} \right) \\ \vec{v}^F&=\frac{1}{2\sin \theta}\left[ \begin{array}{c} q_{32}-q_{23}\\ q_{13}-q_{31}\\ q_{21}-q_{12}\\ \end{array} \right] \end{split} θv F​=arccos(2q11​+q22​+q33​−1​)=2sinθ1​ ​q32​−q23​q13​−q31​q21​−q12​​ ​​

3.2 罗德里格变换Rodrigues’ Transform

结合上节所述内容，定义罗德里格参数Rodriguez Paremeters为：
γ ⃗ F = v ⃗ F tan ⁡ θ 2 = [ v 1 F v 2 F v 3 F ] tan ⁡ θ 2 = [ γ 1 F γ 2 F γ 3 F ] \vec{\gamma}^F=\vec{v}^F\tan \frac{\theta}{2}=\left[ \begin{array}{c} v_{1}^{F}\\ v_{2}^{F}\\ v_{3}^{F}\\ \end{array} \right] \tan \frac{\theta}{2}=\left[ \begin{array}{c} \gamma _{1}^{F}\\ \gamma _{2}^{F}\\ \gamma _{3}^{F}\\ \end{array} \right] γ ​F=v Ftan2θ​= ​v1F​v2F​v3F​​ ​tan2θ​= ​γ1F​γ2F​γ3F​​ ​

进而将罗德里格旋转公式改写为：
[ Q M F ] = E + 2 1 + ( γ ) 2 ( γ ⃗ ~ F + ( γ ⃗ ~ F ) 2 ) , γ = ( γ ⃗ ~ F ) T γ ⃗ ~ F = tan ⁡ 2 θ 2 \left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] =E+\frac{2}{1+\left( \gamma \right) ^2}\left( \tilde{\vec{\gamma}}^F+\left( \tilde{\vec{\gamma}}^F \right) ^2 \right) ,\gamma =\left( \tilde{\vec{\gamma}}^F \right) ^{\mathrm{T}}\tilde{\vec{\gamma}}^F=\tan ^2\frac{\theta}{2} [QMF​]=E+1+(γ)22​(γ ​~​F+(γ ​~​F)2),γ=(γ ​~​F)Tγ ​~​F=tan22θ​

而罗德里格变换的旋转矩阵 [ Q B A ] \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] [QBA​]为：
[ Q B A ] = [ 1 + ( γ 1 F ) 2 − ( γ 2 F ) 2 − ( γ 3 F ) 2 2 ( γ 1 F γ 2 F − γ 3 F ) 2 ( γ 1 F γ 3 F + γ 2 F ) 2 ( γ 1 F γ 2 F + γ 3 F ) 1 − ( γ 1 F ) 2 + ( γ 2 F ) 2 − ( γ 3 F ) 2 2 ( γ 2 F γ 3 F − γ 1 F ) 2 ( γ 1 F γ 3 F − γ 2 F ) 2 ( γ 2 F γ 3 F + γ 1 F ) 1 − ( γ 1 F ) 2 − ( γ 2 F ) 2 + ( γ 3 F ) 2 ] \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] =\left[ \begin{matrix} 1+\left( \gamma _{1}^{F} \right) ^2-\left( \gamma _{2}^{F} \right) ^2-\left( \gamma _{3}^{F} \right) ^2& 2\left( \gamma _{1}^{F}\gamma _{2}^{F}-\gamma _{3}^{F} \right)& 2\left( \gamma _{1}^{F}\gamma _{3}^{F}+\gamma _{2}^{F} \right)\\ 2\left( \gamma _{1}^{F}\gamma _{2}^{F}+\gamma _{3}^{F} \right)& 1-\left( \gamma _{1}^{F} \right) ^2+\left( \gamma _{2}^{F} \right) ^2-\left( \gamma _{3}^{F} \right) ^2& 2\left( \gamma _{2}^{F}\gamma _{3}^{F}-\gamma _{1}^{F} \right)\\ 2\left( \gamma _{1}^{F}\gamma _{3}^{F}-\gamma _{2}^{F} \right)& 2\left( \gamma _{2}^{F}\gamma _{3}^{F}+\gamma _{1}^{F} \right)& 1-\left( \gamma _{1}^{F} \right) ^2-\left( \gamma _{2}^{F} \right) ^2+\left( \gamma _{3}^{F} \right) ^2\\ \end{matrix} \right] [QBA​]= ​1+(γ1F​)2−(γ2F​)2−(γ3F​)22(γ1F​γ2F​+γ3F​)2(γ1F​γ3F​−γ2F​)​2(γ1F​γ2F​−γ3F​)1−(γ1F​)2+(γ2F​)2−(γ3F​)22(γ2F​γ3F​+γ1F​)​2(γ1F​γ3F​+γ2F​)2(γ2F​γ3F​−γ1F​)1−(γ1F​)2−(γ2F​)2+(γ3F​)2​ ​

• 罗德里格参数与欧拉参数的转换
  [ γ 1 F γ 2 F γ 3 F ] = [ q 2 q 1 q 3 q 1 q 4 q 1 ] \left[ \begin{array}{c} {\gamma _1}^F\\ {\gamma _2}^F\\ {\gamma _3}^F\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \frac{q_2}{q_1}\\ \frac{q_3}{q_1}\\ \frac{q_4}{q_1}\\ \end{array} \right] ​γ1​Fγ2​Fγ3​F​ ​= ​q1​q2​​q1​q3​​q1​q4​​​ ​

[ q 1 q 2 q 3 q 4 ] = [ 1 1 + γ 2 γ 1 F 1 + γ 2 γ 2 F 1 + γ 2 γ 3 F 1 + γ 2 ] \left[ \begin{array}{c} q_1\\ q_2\\ q_3\\ q_4\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{1+\gamma ^2}}\\ \frac{{\gamma _1}^F}{\sqrt{1+\gamma ^2}}\\ \frac{{\gamma _2}^F}{\sqrt{1+\gamma ^2}}\\ \frac{{\gamma _3}^F}{\sqrt{1+\gamma ^2}}\\ \end{array} \right] ​q1​q2​q3​q4​​ ​= ​1+γ2 ​1​1+γ2 ​γ1​F​1+γ2 ​γ2​F​1+γ2 ​γ3​F​​ ​

3.3 方向余弦变换

由上节可知，转换矩阵 [ Q B A ] \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] [QBA​]表示坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}中的基矢量在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}中的表达，即：
[ i ⃗ B j ⃗ B k ⃗ B ] = [ Q B A ] T [ i ⃗ A j ⃗ A k ⃗ A ] = [ q 11 q 12 q 13 q 21 q 22 q 23 q 31 q 32 q 33 ] T [ i ⃗ A j ⃗ A k ⃗ A ] \left[ \begin{array}{c} \vec{i}^B\\ \vec{j}^B\\ \vec{k}^B\\ \end{array} \right] =\left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} q_{11}& q_{12}& q_{13}\\ q_{21}& q_{22}& q_{23}\\ q_{31}& q_{32}& q_{33}\\ \end{matrix} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] ​i Bj ​Bk B​ ​=[QBA​]T ​i Aj ​Ak A​ ​= ​q11​q21​q31​​q12​q22​q32​​q13​q23​q33​​ ​T ​i Aj ​Ak A​ ​

进而将转换矩阵内的元素展开：
[ Q B A ] T = [ i ⃗ A ⋅ i ⃗ B j ⃗ A ⋅ i ⃗ B k ⃗ A ⋅ i ⃗ B i ⃗ A ⋅ j ⃗ B j ⃗ A ⋅ j ⃗ B k ⃗ A ⋅ j ⃗ B i ⃗ A ⋅ k ⃗ B j ⃗ A ⋅ k ⃗ B k ⃗ A ⋅ k ⃗ B ] \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] ^{\mathrm{T}}=\left[ \begin{matrix} \vec{i}^A\cdot \vec{i}^B& \vec{j}^A\cdot \vec{i}^B& \vec{k}^A\cdot \vec{i}^B\\ \vec{i}^A\cdot \vec{j}^B& \vec{j}^A\cdot \vec{j}^B& \vec{k}^A\cdot \vec{j}^B\\ \vec{i}^A\cdot \vec{k}^B& \vec{j}^A\cdot \vec{k}^B& \vec{k}^A\cdot \vec{k}^B\\ \end{matrix} \right] [QBA​]T= ​i A⋅i Bi A⋅j ​Bi A⋅k B​j ​A⋅i Bj ​A⋅j ​Bj ​A⋅k B​k A⋅i Bk A⋅j ​Bk A⋅k B​ ​
进一步观察，可以将该矩阵转化为：
[ Q B A ] T = [ i ⃗ A ⋅ i ⃗ B j ⃗ A ⋅ i ⃗ B k ⃗ A ⋅ i ⃗ B i ⃗ A ⋅ j ⃗ B j ⃗ A ⋅ j ⃗ B k ⃗ A ⋅ j ⃗ B i ⃗ A ⋅ k ⃗ B j ⃗ A ⋅ k ⃗ B k ⃗ A ⋅ k ⃗ B ] = [ Q B i A Q B j A Q B k A ] = [ Q A i B Q A j B Q A k B ] \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] ^{\mathrm{T}}=\left[ \begin{matrix} \vec{i}^A\cdot \vec{i}^B& \vec{j}^A\cdot \vec{i}^B& \vec{k}^A\cdot \vec{i}^B\\ \vec{i}^A\cdot \vec{j}^B& \vec{j}^A\cdot \vec{j}^B& \vec{k}^A\cdot \vec{j}^B\\ \vec{i}^A\cdot \vec{k}^B& \vec{j}^A\cdot \vec{k}^B& \vec{k}^A\cdot \vec{k}^B\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} Q_{\mathrm{Bi}}^{A}& Q_{\mathrm{Bj}}^{A}& Q_{\mathrm{Bk}}^{A}\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{array}{c} Q_{\mathrm{Ai}}^{B}\\ Q_{\mathrm{Aj}}^{B}\\ Q_{\mathrm{Ak}}^{B}\\ \end{array} \right] [QBA​]T= ​i A⋅i Bi A⋅j ​Bi A⋅k B​j ​A⋅i Bj ​A⋅j ​Bj ​A⋅k B​k A⋅i Bk A⋅j ​Bk A⋅k B​ ​=[QBiA​​QBjA​​QBkA​​]= ​QAiB​QAjB​QAkB​​ ​
其中， [ Q B i A Q B j A Q B k A ] \left[ \begin{matrix} Q_{\mathrm{Bi}}^{A}& Q_{\mathrm{Bj}}^{A}& Q_{\mathrm{Bk}}^{A}\\ \end{matrix} \right] [QBiA​​QBjA​​QBkA​​]中，每一项表示坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}中的基矢量在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}下的表达，而 [ Q A i B Q A j B Q A k B ] . \left[ \begin{array}{c} Q_{\mathrm{Ai}}^{B}\\ Q_{\mathrm{Aj}}^{B}\\ Q_{\mathrm{Ak}}^{B}\\ \end{array} \right] . ​QAiB​QAjB​QAkB​​ ​.中，每一项表示坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}中的基矢量在坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}下的表达。因此该形式的矩阵被称为方向余弦矩阵Direction Cosine Matrix。

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