机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-1-1 刚体系统的运动学约束
1. 广义坐标与约束
1.1 参考坐标
根据上述章节的学习，我们知道：
- 空间中对某一
点的表述，需要3个位姿参数（比如点的坐标）——即需要3个约束方程； - 空间中对某一
矢量的表述，需要2个位姿参数（比如球坐标系下的两个角度值）——即需要2个约束方程； - 空间中对某一
直线的表述，需要5个位姿参数（给定点+给定矢量）——即需要5个约束方程； - 空间中对某一
平面的表述，需要4个位姿数（给定矢量+矢量方向上的位置）——即需要4个约束方程； - 空间中对某一
刚体的表述，需要6个位姿参数（给定点+矢量方向+沿矢量方向的转角）——即需要6个约束方程；
而对于刚体系统而言，其运动坐标系的参考坐标具体表示，与所选择的表示方法有关：用符号 q ⃗ Σ M F \vec{q}_{\varSigma _{\mathrm{M}}}^{F} q ΣMF来表示刚体 Σ M \varSigma _{\mathrm{M}} ΣM在坐标系 { F } \left\{ F \right\} { F}下的广义坐标参数。展开可写为：
q ⃗ Σ M F = [ R ⃗ Σ M F θ ⃗ Σ M F ] \vec{q}_{\varSigma _{\mathrm{M}}}^{F}=\left[ \begin{array}{c} \vec{R}_{\varSigma _{\mathrm{M}}}^{F}\\ \vec{\theta}_{\varSigma _{\mathrm{M}}}^{F}\\ \end{array} \right] q ΣMF=[R ΣMFθ ΣMF]
其中： R ⃗ Σ M F \vec{R}_{\varSigma _{\mathrm{M}}}^{F} R ΣMF表示体坐标系 { M } \left\{ M \right\} { M}在固定坐标系 { F } \left\{ F \right\} { F}下的位置参数， θ ⃗ Σ M F \vec{\theta}_{\varSigma _{\mathrm{M}}}^{F} θ ΣMF表示刚体的姿态参数（欧拉角，四元数，罗德里格斯参数等），对于不同的表达方式， q ⃗ Σ M F \vec{q}_{\varSigma _{\mathrm{M}}}^{F} q ΣMF有不同的维数。
1.2 约束
若一个系统由多个刚体之间的相互作用组成（存在运动副连接），此时该系统中每个单独刚体的运动，都会受到其他部分的影响——确立一组相互独立的广义坐标（即自由度——此时的自由度表示为所需的广义坐标数量，即需要几个自由度才能完整的描述该系统各个构件状态），运动学约束即上述的约束方程，几个约束方程即限制了几个自由度。
对于一个多体系统而言，其广义坐标的数目为 n n n，这些刚体之间存在 n c n_{\mathrm{c}} nc个约束方程
若能将约束方程写成如下的矩阵形式：
C ( q ⃗ , t ) = [ C 1 ( q ⃗ , t ) C 2 ( q ⃗ , t ) ⋮ C n c ( q ⃗ , t ) ] = C ( q ⃗ 1 , q ⃗ 2 , ⋯ , q ⃗ n , t ) \boldsymbol{C}\left( \vec{\boldsymbol{q}},t \right) =\left[ \begin{array}{c} C_1\left( \vec{\boldsymbol{q}},t \right)\\ C_2\left( \vec{\boldsymbol{q}},t \right)\\ \vdots\\ C_{\mathrm{n}_{\mathrm{c}}}\left( \vec{\boldsymbol{q}},t \right)\\ \end{array} \right] =\boldsymbol{C}\left( \vec{q}_1,\vec{q}_2,\cdots ,\vec{q}_{\mathrm{n}},t \right) C(q ,t)= C1(q ,t)C2(q ,t)⋮Cnc(q ,t) =C(q 1,q 2,⋯,