对于互质的两个数p，q，px+py 不能表示的最大数为pq-p-q.
证明：
先证:pq-p-q不能被px+py表示.
假设pq-p-q可以被px+py表示
那么 px+py=pq-p-q
p(x+1)+q(y+1)=pq
-> q|x+1 p|y+1
很明显x+1>=q
p(x+1)>=pq 矛盾
所以pq-p-q不能被px+py表示.
再证：大于pq-p-q的数一定可以用px+qy表示(x>=0 y>=0)
(p-1)(q-1)=pq-p-q+1
对于n>pq-q-p即n>=(q-1)(p-1)
gcd(p,q)=1
对于z<min{p,q}存在a,b使得ap+bq=z
不妨设a>0>b,显然a>0
那么如果a>q,取a1=a-q,b1=b+p
那么有a1*p+b1*q=z.
如果a1>q，可以继续以得到
Ap+Bq=z,且0<|A|<q,0<|B|<p
pq-p-q=(p-1)q-q=(q-1)p-p
对于n>pq-q-p
n=pq-q-p+k*min{p,q}+r
r<z<min{p,q}
那么取A,B
Ap+Bq=r,且0<|A|<q,0<|B|<p
不妨设A>0
n=pq-q-p+k*min{p,q}+r
=(q-1)p-p+k*min{p,q}+Ap+Bq
=(A-1)p+(B+q-1)p+k*min{p,q}
其中(A-1),(B+q-1)>=0
那么无论min{p,q}是p还是q，都有
对于n>pq-q-p,都可以表示成px+qy