一、图与网络的基本概念
- 生成子图：生成子图 G ’ G’ G’中顶点个数V’必须和原图G中V的数量相同，而 E ’ ∈ E E’∈E E’∈E即可。
- 顶点集导出子图： V 1 ⊆ V V1⊆V V1⊆V，以 V 1 V1 V1为顶点集，两个端点都在 V V V中的边为边集的 G G G的子图。
- 边集导出子图： E 1 ⊆ E E1⊆E E1⊆E，以 E 1 E1 E1为边集， E 1 E1 E1的端点集为顶点集的图 G G G的子图。
- 简单图：既无环又无重边的图为简单图
- 完备图：任二顶点相邻的简单图,称为完备图,记为 K n K_n Kn其中n 为顶点的数目
- 二部图：一个图是偶图（二部图）当且当它不包含奇圈
- 握手定理：图 G = ( V , E ) G= (V, E) G=(V,E)中所有顶点的度的和等于边数m的2倍
- 同构：顶点集之间存在一一对应关系，边也有一一对应的关系,则称图 G G G与 H H H同构，有向图的同构对应边的方向要相同。必要条件 (1) 顶点数相同(2) 边数相同(3) 关联边数相同的顶点个数相同。
二、树
- 树：无圈连通图称为树
- 树充要条件： G G G无环且任何两个顶点之间有唯一的路径
- 树充要条件： G G G连通,且 e ( G ) = V ( G ) − 1 e(G)=V(G)-1 e(G)=V(G)−1
- 树充要条件： G G G连通，且对 G G G的任一边 e , G − e e,G-e e,G−e不连通
- 生成树： G G G的边数最少的连通生成子图
三、连通性
- 点连通度：设 G G G连通, V ⊂ V ( G ) , G [ V − V ] V⊂V(G), G[V-V] V⊂V(G),G[V−V]不连通,则称 V V V为 G G G的点断集。最小点断集中顶点的个数称为 G G G的连通度记为 K ( G ) K(G) K(G)，若 G G G无点断集,则规定 K ( G ) = n − 1 K(G)=n-1 K(G)=n−1， 平凡图、不连通图 = 0 平凡图、不连通图=0 平凡图、不连通图=0
- 边连通度：设 G G G连通, E ⊂ E ( G ) E⊂E(G) E⊂E(G), G − E G-E G−E(从 G G G中删除 E E E中的边)不连通,则称 E E E是 G G G的边断集。最小边断集所含的边数称为 G G G的边连通度记为 K ‘ ( G ) K‘(G) K‘(G)，当 ∣ E ′ ∣ = 1 |E'|=1 ∣E′∣=1时,称E中的边 e e e为割边， 平凡图、不连通图 = 0 平凡图、不连通图=0 平凡图、不连通图=0
- k连通图：若一个图的连通度至少为 k k k，则称该图是 k k k连通的。于是，非平凡连通图均是 1 1 1连通的；图 G G G是2连通的当且仅当 G G G连通、无割点且至少含有 3 3 3个点。
- 点连通度、边连通度、最小度： K ( G ) < = K ′ ( G ) < = δ （ G ） K(G)<=K'(G)<=δ（G） K(G)<=K′(G)<=δ（G）
- 割边：设e是图G的一条边，若 ω ( G − e ) ＞ ω ( G ) ω(G-e)＞ω(G) ω(G−e)＞ω(G), 则称 e e e为 G G G的割边。 e e e是图 G G G的割边，当且仅当 e e e不在 G G G的任何圈中。
- 割点： v v v是 G G G的割点当且仅当 V ( G − v ) V(G-v) V(G−v)可划分为两个非空顶点子集 V 1 V_1 V1与 V 2 V_2 V2，使 x ∈ V 1 ， y ∈ V 2 x∈V_1，y∈V_2 x∈V1，y∈V2，点v都在每一条 ( x , y ) (x, y) (x,y) 路上。
- 割集： [ S , S ′ ] [S, S'] [S,S′]表示一个端点在 S S S,另一个端点在 S S S的全体边组成的集合，设 G G G连通,若 [ S , S ’ ] [S,S’] [S,S’]只把 G G G断成两个分支,则称 [ S , S ′ ] [S, S'] [S,S′]为 G G G的一个割集。
- 树和图：设 v v v是树的顶点，则 v v v是 G G G的割点当且仅当度 d ( v ) > = 2 d(v)>=2 d(v)>=2
习题15：去掉 e = ( u , v ) e= (u, v) e=(u,v) ，在 G − e G-e G−e中 u u u所在的分支仅有一个奇度顶点，与握手定理矛盾
习题16：反证法， e = ( u , v ) e= (u, v) e=(u,v) ， G − e G-e G−e中 u u u所在的分支 G 1 G_1 G1， G 1 G_1 G1为二部图，因为二部图所有子图均为二部图，则 Σ （ G 1 ） = k ∣ X 1 ∣ = k ∣ Y 1 ∣ − 1 = > k Σ（G_1）=k|X_1|=k|Y_1|-1=>k Σ（G1）=k∣X1∣=k∣Y1∣−1=>k， （ ∣ X 1 ∣ − ∣ Y 1 ∣ ） = 1 （ k > = 2 ） （|X_1|-|Y_1|）=1（k>=2） （∣X1∣−∣Y1∣）=1（k>=2），不成立
四、路径算法
- Floyd：复杂度 O （ n 3 ） O（n^3） O（n3）
五、匹配
- 边独立集（匹配）：如果 M M M是图 G G G的边子集(不含环），且 M M M中的任意两条边没有共同顶点，则称 M M M是 G G G的一个匹配
- 最大匹配：如果 M M M是图 G G G的包含边数最多的匹配，称 M M M是 G G G的一个最大匹配。特别是，若最大匹配饱和了 G G G的所有顶点，称它为 G G G的一个完美匹配（理想匹配）
- 二部图理想匹配：若 G G G是 k ( k > 0 ) k (k>0) k(k>0)正则偶图，则 G G G存在完美匹配
- 贝尔热定理： G G G的匹配 M M M是最大匹配，当且仅当 G G G不包含M可扩路
- Hall定理：二分图存在完美匹配当且仅当 ∀ S ⊆ A \forall S\subseteq A ∀S⊆A，都有 ∣ N ( S ) ∣ ⩾ ∣ S ∣ |N(S)|\geqslant |S| ∣N(S)∣⩾∣S∣
- 哥尼定理：在偶图中，最大匹配的边数等于最小覆盖的顶点数
- 托特定理：图 G G G有完美匹配当且仅当对V的任意非空真子集S, 有： （奇分支数目 ) ∣ o ( G − S ) ∣ ⩽ ∣ S ∣ （奇分支数目)|o(G-S)|\leqslant |S| （奇分支数目)∣o(G−S)∣⩽∣S∣
六、行遍性问题
- 欧拉巡回：经过 G G G的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回
- 欧拉图：存在欧拉巡回的图称为欧拉图或E图
- 欧拉图的充要条件：连通、无奇度顶点
- 欧拉道路的充要条件：连通、最多只有两个奇度顶点
- 哈米尔顿路径：经过图 G G G每个顶点正好一次的路径，简称 H H H路径。
- 哈米尔顿图：经过 G G G的每个顶点正好一次的圈为H圈。含H圈的图称为哈米尔顿图或 H H H图。
- H图的必要条件： 其 ∀ S ⊂ V ， S ≠ ∅ ω ( G − S ) ≤ ∣ S ∣ 其 \forall S \subset V ，S \neq \varnothing \\ \omega ( G - S ) \leq | S | 其∀S⊂V，S=∅ω(G−S)≤∣S∣
七、平面图
- 平面图：一个图若能在曲面 S S S上画出,使任两边在非顶点处不相交,则称此图可以在曲面 S S S上嵌人。可嵌入平面的图称为可嵌平面图,否则称为非平面图。可嵌平面图 G G G嵌人平面形成的图,称为 G G G的平面嵌入。
- 欧拉公式：设 G = ( n , m ) G=(n, m) G=(n,m)是连通平面图， ϕ \phi ϕ是G的面数， n − m + ϕ = 2 n - m + \phi = 2 n−m+ϕ=2
- 平面图推论： G G G是 v > = 3 v>=3 v>=3的简单平面图， ε ≤ 3 v − 6 \varepsilon \leq 3 v - 6 ε≤3v−6， δ ( G ) ≤ 5 \delta ( G ) \leq 5 δ(G)≤5
- 库拉托夫斯基定理：图 G G G是非可平面的，当且仅当它含有 K 5 K_5 K5或 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3细分的子图