本文涉及知识点
最大公约数 调和级数
LeetCode2183. 统计可以被 K 整除的下标对数目
给你一个下标从 0 开始、长度为 n 的整数数组 nums 和一个整数 k ，返回满足下述条件的下标对 (i, j) 的数目：
0 <= i < j <= n - 1 且
nums[i] * nums[j] 能被 k 整除。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3,4,5], k = 2
输出：7
解释：
共有 7 对下标的对应积可以被 2 整除：
(0, 1)、(0, 3)、(1, 2)、(1, 3)、(1, 4)、(2, 3) 和 (3, 4)
它们的积分别是 2、4、6、8、10、12 和 20 。
其他下标对，例如 (0, 2) 和 (2, 4) 的乘积分别是 3 和 15 ，都无法被 2 整除。
示例 2：
输入：nums = [1,2,3,4], k = 5
输出：0
解释：不存在对应积可以被 5 整除的下标对。
提示：
1 <= nums.length <= 10
1 <= nums[i], k <= 10
数学
如何判断x1*x2 能否被k整除。
方式一：
0 == x1 × \times × x2 % \% % k
方式二：gcd(x1 × \times ×x2,k)== k
注意：x1 × \times ×x2 超过了int范围。
那些数乘以x2能被k整除？
是k/gcd(k,x2) 的倍数。
题解
cnt[x]记录x出现的次数。
cnt2[x] 记录x的正数倍数出现次数。时间复杂度:O(nlogn) 调和级数。
枚举nums个元素，累加能乘以nums[i]被k整除的数量。
如果nums[i]*nums[i] 能被k整除，需要扣除。扣掉后，余下的数量是j< j或i > j，两者数量相等，故除以2.
时间复杂度：O(nlogn)
代码
核心代码
class Solution {
public:
long long countPairs(vector<int>& nums, int k) {
const int iMax = *std::max_element(nums.begin(), nums.end());
vector<int> cnt(iMax + 1);
for (const auto& n : nums) {
cnt[n]++;
}
vector<int> cnt2(k + 1);
for (int i = 1; i <= k; i++) {
for (int x = i; x <= iMax; x += i) {
cnt2[i] += cnt[x];
}
}
long long llRet = 0;
for (const auto& n : nums) {
llRet += cnt2[k / gcd(n, k)];
if (((long long)n * n >= k) && (0 == (long long)n * n % k)) {
llRet --;
}
}
return llRet / 2;
}
};
测试用例
template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}
template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert(v1[i], v2[i]);
}
}
int main()
{
vector<int> nums;
int k;
{
Solution sln;
nums = { 2,2,10 }, k = 4;
auto res = sln.countPairs(nums, k);
Assert(3LL, res);
}
{
Solution sln;
nums = { 1,2,3,4,5 },k=2;
auto res = sln.countPairs(nums,k);
Assert(7LL, res);
}
{
Solution sln;
nums = { 1,2,3,4 }, k = 5;
auto res = sln.countPairs(nums, k);
Assert(0LL, res);
}
}
扩展阅读
视频课程
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https://edu.csdn.net/course/detail/38771
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相关下载
想高屋建瓴的学习算法，请下载《喜缺全书算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。