位图的使用与实现
作者：Grey
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说明
本文内容使用的编程语言是 Java。其他语言有类似的数据结构。
位图的使用
在 Java 中，使用HashSet可以实现如下操作：
add(T v)
contains(T v)
remove(T v)
如果数据范围固定，使用位图比使用HashSet省空间。
在 Java 中，一个 int 类型的整数可以表示 32 个 bit，所以，如果数据范围0 ~ 31，可以直接用一个 int 类型的数来完成上述三个操作。
比如：
add(4)这个操作，就是在如下 int 类型数（二进制表示）中，第 4 号位置设置为 1。如下图
继续执行add(7)这个操作，就是在如下 int 类型数（二进制表示）中，第 7 号位置设置为 1。如下图
contains(4)这个操作，就是判断 4 号位置是 0 还是 1，如果是 1， 就说明 4 存在，如果是 0 ，说明 4 不存在。
remove(7)这个操作，就是把 7 号位置置为 0。如下效果
如果数据范围是 0 ~ 1023， 则可以用一个 int 类型数组来表示，这个数组只需要 32 个元素即可。因为 32 个 int 类型元素，可以表示 1024 位，正好可以覆盖数据范围中的所有数字。对于0 ~ 1023中任意一个数 num，num在数组中存在第num / 32个元素中的第num % 32位中。
举例说明：
num = 37，客观上，num 应该在如下位置：
在 1 号（37 / 32）数组元素的第 5 号（ 37 % 32）位置。
位图的实现
为了扩大表示范围，我们可以使用 long 类型来替代 int 类型，因为 long 类型可以表达 64 个 bit，思路还是和如上一样。现在说明如何实现上述三个方法。
先把位图的数据结构和相关方法定义好
public static class BitMap {
// 使用每个位置的信息。
private long[] bits;
public BitMap(int max) {
// TODO
// 位图初始化
}
public void add(int num) {
// TODO
// 添加一个元素
}
public void remove(int num) {
// TODO
// 删除一个元素
}
public boolean contains(int num) {
// TODO
// 判断一个元素是否在位图中
}
}
注：我们这里只考虑非负数，对于负数的情况，也可以转换成正数来处理，比如：-3~6，可以转换成0~9。
首先是位图的初始化，即如何根据数据范围确定位图应该开辟多大的数组？
由于是 long 类型，所以，对于 0 ~ x 区间来说，需要准备
(x + 64) / 64
这么大的 long 类型数组。
位图中增加一个元素，比如我们要增加 53 这个元素，先定位它是数组中的哪个元素，即53 / 64 = 0，第 0 号位置的元素，再定位是这个元素中的第几位，即：53 % 64 = 11，即第 11 位，我们可以用 1L << 11后的值| bit[0]即可，代码实现如下
public void add(int num) {
bits[num / 64] |= (1L << (num % 64));
}
由于 num / 64其实就是 num >> 6，
num % 64其实就是num & 63，
由于位运算比算术运算效率要高，所以add方法可以进一步写成如下形式
public void add(int num) {
// bits[num / 64] |= (1L << (num % 64));
// num % 64 ---> num & 63
// 只适用于 2 的 n 次方
bits[num >> 6] |= (1L << (num & 63));
}
位图中删除一个元素，其实就是把对应位置的二进制位置为 0，其他位置保持不变，通过
~((1L << (num & 63)))
可以预先得到一个除目标位置是 0，其他位置都是 1 的数。
然后通过这个数去 &上数组目标位置的元素，即可把对应位置的 1 改为 0，其他位置不变。
public void remove(int num) {
bits[num >> 6] &= ~(1L << (num & 63));
}
位图中是否包含某个元素，其实就是判断对应位置是 0 还是 1， 如果是 0 ，就说明存在，不是 0 ， 则不存在。
public boolean contains(int num) {
return (bits[num >> 6] & (1L << (num & 63))) != 0;
}
位图的完整代码见
public static class BitMap {
private long[] bits;
public BitMap(int max) {
// 准备多少个整数？ 0 ~ 63 需要1个整数
// >> 6 就是 除以 64
bits = new long[(max + 64) >> 6];
}
public void add(int num) {
// bits[num / 64] |= (1L << (num % 64));
// num % 64 ---> num & 63
// 只适用于 2 的 n 次方
bits[num >> 6] |= (1L << (num & 63));
}
public void remove(int num) {
bits[num >> 6] &= ~(1L << (num & 63));
}
public boolean contains(int num) {
return (bits[num >> 6] & (1L << (num & 63))) != 0;
}
}
测试
通过实现的位图和 Java 自带的 HashSet 进行对比测试，可以判断我们写的位图是否正确，测试代码如下
package snippet;
import java.util.HashSet;
import java.util.Set;
public class Code_0009_BitMap {
public static void main(String[] args) {
System.out.println("测试开始！");
int max = 70000;
BitMap bitMap = new BitMap(max);
Set<Integer> set = new HashSet<>();
int testTime = 90000000;
for (int i = 0; i < testTime; i++) {
int num = (int) (Math.random() * (max + 1));
double decide = Math.random();
if (decide < 0.333) {
bitMap.add(num);
set.add(num);
} else if (decide < 0.666) {
bitMap.remove(num);
set.remove(num);
} else {
if (bitMap.contains(num) != set.contains(num)) {
System.out.println("Oops!");
break;
}
}
}
for (int num = 0; num <= max; num++) {
if (bitMap.contains(num) != set.contains(num)) {
System.out.println("Oops!");
}
}
System.out.println("测试结束！");
}
}
运行，未打印报错信息，说明我们的算法正确。