线性回归

什么是线性回归

定义与公式

线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。

  • 特点:只有一个自变量的情况称为单变量回归,大于一个自变量情况的叫做多元回归

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线性回归的特征与目标的关系分析

线性回归当中的关系有两种,一种是线性关系,另一种是非线性关系。在这里我们只能画一个平面更好去理解,所以都用单个特征举例子。

  • 线性关系

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 如果在单特征与目标值的关系呈直线关系,或者两个特征与目标值呈现平面的关系

  • 非线性关系

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线性回归的损失和优化原理

假设刚才的房子例子,真实的数据之间存在这样的关系

真实关系:真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

那么现在呢,我们随意指定一个关系(猜测)

随机指定关系:预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率

请问这样的话,会发生什么?真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢?类似这样样子

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 那么存在这个误差,我们将这个误差给衡量出来

损失函数

总损失定义为:

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  • y_i为第i个训练样本的真实值
  • h(x_i)为第i个训练样本特征值组合预测函数
  • 又称最小二乘法

如何去减少这个损失,使我们预测的更加准确些?既然存在了这个损失,我们一直说机器学习有自动学习的功能,在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化(其实是数学当中的求导功能)回归的总损失!!!

优化算法

正规方程

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理解:X为特征值矩阵,y为目标值矩阵。直接求到最好的结果

缺点:当特征过多过复杂时,求解速度太慢并且得不到结果机器学习5-线性回归-LMLPHP

梯度下降

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理解:α为学习速率,需要手动指定(超参数),α旁边的整体表示方向

沿着这个函数下降的方向找,最后就能找到山谷的最低点,然后更新W值

使用:面对训练数据规模十分庞大的任务 ,能够找到较好的结果

我们通过两个图更好理解梯度下降的过程

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 所以有了梯度下降这样一个优化算法,回归就有了"自动学习"的能力

优化动态图演示

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线性回归API

  • sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)
    • 通过正规方程优化
    • fit_intercept:是否计算偏置
    • LinearRegression.coef_:回归系数
    • LinearRegression.intercept_:偏置
  • sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss="squared_loss", fit_intercept=True, learning_rate ='invscaling', eta0=0.01)
    • SGDRegressor类实现了随机梯度下降学习,它支持不同的loss函数和正则化惩罚项来拟合线性回归模型。
    • loss:损失类型
      • loss=”squared_loss”: 普通最小二乘法
    • fit_intercept:是否计算偏置
    • learning_rate : string, optional
      • 学习率填充
      • 'constant': eta = eta0
      • 'optimal': eta = 1.0 / (alpha * (t + t0)) [default]
      • 'invscaling': eta = eta0 / pow(t, power_t)
        • power_t=0.25:存在父类当中
      • 对于一个常数值的学习率来说,可以使用learning_rate=’constant’ ,并使用eta0来指定学习率。
    • SGDRegressor.coef_:回归系数
    • SGDRegressor.intercept_:偏置

 案例-波士顿房价

数据介绍

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分析

回归当中的数据大小不一致,是否会导致结果影响较大。所以需要做标准化处理。同时我们对目标值也需要做标准化处理。

  • 数据分割与标准化处理
  • 回归预测
  • 线性回归的算法效果评估

回归性能评估

均方误差(Mean Squared Error)MSE)评价机制:

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 y^i为预测值,¯y为真实值

sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)

  • 均方误差回归损失
  • y_true:真实值
  • y_pred:预测值
  • return:浮点数结果
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression,SGDRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error

def linear1():
    """
    正规方程的优化方法对波士顿房价预测
    """
    #获取数据
    boston=load_boston()
    print("特征个数:\n",boston.data.shape)
    #划分数据集
    x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(boston.data,boston.target,random_state=22)
    #标准化
    transfer=StandardScaler()
    x_train=transfer.fit_transform(x_train)
    x_test=transfer.transform(x_test)
    #预估器
    estimator=LinearRegression()
    estimator.fit(x_train,y_train)
    #得出模型
    print("正规方程-权重系数为:\n",estimator.coef_)
    print("正规方程-偏置为:\n",estimator.intercept_ )

    #模型评估
    y_predict=estimator.predict(x_test)
    print("预测房价:\n",y_predict)
    error=mean_squared_error(y_test,y_predict)
    print("正规方程-均方差误差:\n",error)

    return None

def linear2():
    """
    梯度下降的优化方法对波士顿房价预测
    """
    #获取数据
    boston=load_boston()
    #划分数据集
    x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(boston.data,boston.target,random_state=22)
    #标准化
    transfer=StandardScaler()
    x_train=transfer.fit_transform(x_train)
    x_test=transfer.transform(x_test)
    #预估器
    estimator=SGDRegressor()
    estimator.fit(x_train,y_train)
    #得出模型
    print("梯度下降-权重系数为:\n",estimator.coef_)
    print("梯度下降-偏置为:\n",estimator.intercept_ )

    #模型评估
    y_predict = estimator.predict(x_test)
    print("预测房价:\n", y_predict)
    error = mean_squared_error(y_test, y_predict)
    print("梯度下降-均方差误差:\n", error)
    return None


if __name__ == '__main__':
    linear1()
    linear2()

结果为:

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正规方程和梯度下降对比

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总结

  • 线性回归的损失函数-均方误差
  • 线性回归的优化方法线性回归的性能衡量方法-均方误差
    • 正规方程
    • 梯度下降
  • sklearn的SGDRegressor API 参数
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