algorithm - 快速联盟的时间复杂度是多少？

我正在上有关数据结构和算法的类(class)。作者提到快速查找是O(N ^ 2)，这很有意义(假设对N个对象进行N个联合操作可能需要N * N个数组访问)。但是，我不明白为什么Quick Union会更好。在最坏的情况下，似乎是一棵长而狭窄的树，对N个对象进行N个查找操作也将导致O(N ^ 2)，但是 Material 说它是O(N)。

因此，一个是二次时间，一个是线性时间。我不确定我是否理解为什么会有所不同。例子:

快速查找方法

int[] id = new int[10];

for(int i = 0; i < 10; i++)
    id[i] = i;

// Quick find approach

int QuickFind(int p)
{
    return id[p];
}

public void Union(int p, int q)
{
    int pId = find(p);
    int qId = find(q);

    if (pId == qId)
        return;

    for (int i = 0; i < id.length; i++)
    {
        if(id[i] == pId)
            id[i] = qId;
    }
}

快速联合方法

int Find(int p)
{
    while(p != id[p])
        p = id[p];

    return p;
}

void QuickUnion(int p, int q)
{
    int pRoot = Find(p);
    int qRoot = Find(q);

    if(pRoot == qRoot)
        return;

    id[pRoot] = qRoot;
}

最佳答案

// Naive implementation of find
int find(int parent[], int i)
{
    if (parent[i] == -1)
        return i;
    return find(parent, parent[i]);
}

// Naive implementation of union()
void Union(int parent[], int x, int y)
{
    int xset = find(parent, x);
    int yset = find(parent, y);
    parent[xset] = yset;
}

上面的union()和find()天真，最坏的情况下时间复杂度是线性的。创建的代表子集的树可能会倾斜，并且可能变得像链表一样。以下是最坏情况的示例。

Let there be 4 elements 0, 1, 2, 3

Initially all elements are single element subsets.
0 1 2 3

Do Union(0, 1)
   1   2   3
  /
 0

Do Union(1, 2)
     2   3
    /
   1
 /
0

Do Union(2, 3)
         3
        /
      2
     /
   1
 /
0

在最坏的情况下，可以将上述操作优化为O(Log n)。想法是始终将较小的深度树附加在较深树的根下。这项技术被称为，称为联合。术语“等级”而不是“高度”是优选的，因为如果使用路径压缩技术(我已在下面进行了讨论)，那么等级并不总是等于“高度”。

Let us see the above example with union by rank
Initially all elements are single element subsets.
0 1 2 3

Do Union(0, 1)
   1   2   3
  /
 0

Do Union(1, 2)
   1    3
 /  \
0    2

Do Union(2, 3)
    1
 /  |  \
0   2   3

天真的方法的第二个优化是路径压缩。想法是在调用find()时将树展平。当为元素find()调用x时，返回树的根。 find()操作从x向上遍历以找到根。路径压缩的想法是使找到的根成为x的父级，这样我们就不必再次遍历所有中间节点。如果x是子树的根，则x下所有节点的路径(到根)也会压缩。

Let the subset {0, 1, .. 9} be represented as below and find() is called
for element 3.
              9
         /    |    \
        4     5      6
     /     \        /  \
    0        3     7    8
            /  \
           1    2

When find() is called for 3, we traverse up and find 9 as representative
of this subset. With path compression, we also make 3 as child of 9 so
that when find() is called next time for 1, 2 or 3, the path to root is
reduced.

               9
         /    /  \    \
        4    5    6     3
     /           /  \   /  \
    0           7    8  1   2

两种技术相辅相成。每个操作的时间复杂度甚至比O(logn)〜O(n)小。实际上，摊销的时间复杂度实际上变为小的常数。

我没有发布具有上述优化的代码，因为这是我猜想的赋值部分。希望能帮助到你!