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1.t分布式统计分布的一种,同卡方分布(χ2分布)、F分布并称为三大分布。
2. t分布又叫student-t分布,常常用于根据小样本来估计呈正态分布且方差值为知的样本的均值。(如果总体的方差已知的话,则应该用正态分布来估计总体的均值。)(所以一个前提是:t分布的样本的总体必须符合正态分布)
3.t分布一般用于小样本(样本量比较小)的情形。
4.假设X服从标准正态分布即X~N(0,1),Y服从自由度n的卡方分布即Y~χ2(n),且X与Y是相互独立的,那么Z=X/sqrt(Y/n)的分布成为自由的为n的t分布,记为Z~t(n).
5.对于Z~t(n),其数学期望E(Z) = 0,n>1;方差D(Z)=n/n-2 , n>2 。
6.特征:
(1).以0为中心,左右对称的单峰分布;
(2).t分布是一簇曲线,其形态变化与n(即其自由度)大小有关。自由度n越小,t分布曲线越低平;自由度n越大,t分布曲线越接近标准正态分布(u分布)曲线,当自由度无限大时,t分布就成了正态分布,如图.
t(n)分布与其密度函数。
(3).随着自由度逐渐增大,t分布逐渐接近标准正态分布。
对应于每一个自由度df,就有一条t分布曲线,每条曲线都有其曲线下统计量t的分布规律,计算较复杂。学生的t分布(或也t分布) ,在概率统计中,在置信区间估计、显著性检验等问题的计算中发挥重要作用。
7.详述:
假设{\displaystyle X}是呈正态分布的独立的随机变量(随机变量的期望值是{\displaystyle \mu },方差是{\displaystyle \sigma ^{2}}但未知)。 令:
- {\displaystyle {\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n}
为样本均值。
- {\displaystyle {S_{n}}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}}
为样本方差。
它显示了数量
{\displaystyle Z={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}
呈正态分布并且均值和方差分别为0和1。
另一个相关数量
{\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{S_{n}/{\sqrt {n}}}}}
T的概率密度函数是:
{\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}}
{\displaystyle \nu } 等于n − 1。 T的分布称为t-分布。参数{\displaystyle \nu } 一般被称为自由度。
{\displaystyle \Gamma } 是伽马函数。 如果{\displaystyle \nu }是偶数,
- {\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4\cdot 2\,}}\cdot }
如果{\displaystyle \nu }是奇数,
{\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5\cdot 3\,}}\cdot \!}
T的概率密度函数的形状类似于均值为0方差为1的正态分布,但更低更宽。随着自由度{\displaystyle \nu }的增加,则越来越接近均值为0方差为1的正态分布。
8.t分布置信区间的推导:
假设数量A在当T呈t-分布(T的自由度为n − 1)满足
- {\displaystyle \Pr(-A<T<A)=0.90\,}
这与
{\displaystyle \Pr(T<A)=0.95\,}是相同的
A是这个概率分布的第95个百分点
那么
- {\displaystyle \Pr \left(-A<{{\overline {X}}_{n}-\mu \over S_{n}/{\sqrt {n}}}<A\right)=0.9,}
等价于
{\displaystyle \Pr \left({\overline {X}}_{n}-A{S_{n} \over {\sqrt {n}}}<\mu <{\overline {X}}_{n}+A{S_{n} \over {\sqrt {n}}}\right)=0.9}
因此μ的90%置信区间为:
9.分布表格的用法
下表列出了自由度为v 的t-分布的单侧和双侧区间值。例如,当样本数量n=5时,则自由度v=4,我们就可以查找表中以4开头的行。该行第5列值为2.132,对应的单侧值为95%(双侧值为90%)。这也就是说,T小于2.132的概率为95%(即单侧),记为Pr(−∞ < T < 2.132) = 0.95;同时,T值介于-2.132和2.132之间的概率为90%(即双侧),记为Pr(−2.132 < T < 2.132) = 0.9。
这是根据分布的对称性计算得到的,
Pr(T < −2.132) = 1 − Pr(T > −2.132) = 1 − 0.95 = 0.05,
因此,
Pr(−2.132 < T < 2.132) = 1 − 2(0.05) = 0.9.
注意关于表格的最后一行的值:自由度为无限大的t-分布和正态分布等价。
单侧 | 75% | 80% | 85% | 90% | 95% | 97.5% | 99% | 99.5% | 99.75% | 99.9% | 99.95% |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
双侧 | 50% | 60% | 70% | 80% | 90% | 95% | 98% | 99% | 99.5% | 99.8% | 99.9% |
1 | 1.000 | 1.376 | 1.963 | 3.078 | 6.314 | 12.71 | 31.82 | 63.66 | 127.3 | 318.3 | 636.6 |
2 | 0.816 | 1.061 | 1.386 | 1.886 | 2.920 | 4.303 | 6.965 | 9.925 | 14.09 | 22.33 | 31.60 |
3 | 0.765 | 0.978 | 1.250 | 1.638 | 2.353 | 3.182 | 4.541 | 5.841 | 7.453 | 10.21 | 12.92 |
4 | 0.741 | 0.941 | 1.190 | 1.533 | 2.132 | 2.776 | 3.747 | 4.604 | 5.598 | 7.173 | 8.610 |
5 | 0.727 | 0.920 | 1.156 | 1.476 | 2.015 | 2.571 | 3.365 | 4.032 | 4.773 | 5.893 | 6.869 |
6 | 0.718 | 0.906 | 1.134 | 1.440 | 1.943 | 2.447 | 3.143 | 3.707 | 4.317 | 5.208 | 5.959 |
7 | 0.711 | 0.896 | 1.119 | 1.415 | 1.895 | 2.365 | 2.998 | 3.499 | 4.029 | 4.785 | 5.408 |
8 | 0.706 | 0.889 | 1.108 | 1.397 | 1.860 | 2.306 | 2.896 | 3.355 | 3.833 | 4.501 | 5.041 |
9 | 0.703 | 0.883 | 1.100 | 1.383 | 1.833 | 2.262 | 2.821 | 3.250 | 3.690 | 4.297 | 4.781 |
10 | 0.700 | 0.879 | 1.093 | 1.372 | 1.812 | 2.228 | 2.764 | 3.169 | 3.581 | 4.144 | 4.587 |
11 | 0.697 | 0.876 | 1.088 | 1.363 | 1.796 | 2.201 | 2.718 | 3.106 | 3.497 | 4.025 | 4.437 |
12 | 0.695 | 0.873 | 1.083 | 1.356 | 1.782 | 2.179 | 2.681 | 3.055 | 3.428 | 3.930 | 4.318 |
13 | 0.694 | 0.870 | 1.079 | 1.350 | 1.771 | 2.160 | 2.650 | 3.012 | 3.372 | 3.852 | 4.221 |
14 | 0.692 | 0.868 | 1.076 | 1.345 | 1.761 | 2.145 | 2.624 | 2.977 | 3.326 | 3.787 | 4.140 |
15 | 0.691 | 0.866 | 1.074 | 1.341 | 1.753 | 2.131 | 2.602 | 2.947 | 3.286 | 3.733 | 4.073 |
16 | 0.690 | 0.865 | 1.071 | 1.337 | 1.746 | 2.120 | 2.583 | 2.921 | 3.252 | 3.686 | 4.015 |
17 | 0.689 | 0.863 | 1.069 | 1.333 | 1.740 | 2.110 | 2.567 | 2.898 | 3.222 | 3.646 | 3.965 |
18 | 0.688 | 0.862 | 1.067 | 1.330 | 1.734 | 2.101 | 2.552 | 2.878 | 3.197 | 3.610 | 3.922 |
19 | 0.688 | 0.861 | 1.066 | 1.328 | 1.729 | 2.093 | 2.539 | 2.861 | 3.174 | 3.579 | 3.883 |
20 | 0.687 | 0.860 | 1.064 | 1.325 | 1.725 | 2.086 | 2.528 | 2.845 | 3.153 | 3.552 | 3.850 |
21 | 0.686 | 0.859 | 1.063 | 1.323 | 1.721 | 2.080 | 2.518 | 2.831 | 3.135 | 3.527 | 3.819 |
22 | 0.686 | 0.858 | 1.061 | 1.321 | 1.717 | 2.074 | 2.508 | 2.819 | 3.119 | 3.505 | 3.792 |
23 | 0.685 | 0.858 | 1.060 | 1.319 | 1.714 | 2.069 | 2.500 | 2.807 | 3.104 | 3.485 | 3.767 |
24 | 0.685 | 0.857 | 1.059 | 1.318 | 1.711 | 2.064 | 2.492 | 2.797 | 3.091 | 3.467 | 3.745 |
25 | 0.684 | 0.856 | 1.058 | 1.316 | 1.708 | 2.060 | 2.485 | 2.787 | 3.078 | 3.450 | 3.725 |
26 | 0.684 | 0.856 | 1.058 | 1.315 | 1.706 | 2.056 | 2.479 | 2.779 | 3.067 | 3.435 | 3.707 |
27 | 0.684 | 0.855 | 1.057 | 1.314 | 1.703 | 2.052 | 2.473 | 2.771 | 3.057 | 3.421 | 3.690 |
28 | 0.683 | 0.855 | 1.056 | 1.313 | 1.701 | 2.048 | 2.467 | 2.763 | 3.047 | 3.408 | 3.674 |
29 | 0.683 | 0.854 | 1.055 | 1.311 | 1.699 | 2.045 | 2.462 | 2.756 | 3.038 | 3.396 | 3.659 |
30 | 0.683 | 0.854 | 1.055 | 1.310 | 1.697 | 2.042 | 2.457 | 2.750 | 3.030 | 3.385 | 3.646 |
40 | 0.681 | 0.851 | 1.050 | 1.303 | 1.684 | 2.021 | 2.423 | 2.704 | 2.971 | 3.307 | 3.551 |
50 | 0.679 | 0.849 | 1.047 | 1.299 | 1.676 | 2.009 | 2.403 | 2.678 | 2.937 | 3.261 | 3.496 |
60 | 0.679 | 0.848 | 1.045 | 1.296 | 1.671 | 2.000 | 2.390 | 2.660 | 2.915 | 3.232 | 3.460 |
80 | 0.678 | 0.846 | 1.043 | 1.292 | 1.664 | 1.990 | 2.374 | 2.639 | 2.887 | 3.195 | 3.416 |
100 | 0.677 | 0.845 | 1.042 | 1.290 | 1.660 | 1.984 | 2.364 | 2.626 | 2.871 | 3.174 | 3.390 |
120 | 0.677 | 0.845 | 1.041 | 1.289 | 1.658 | 1.980 | 2.358 | 2.617 | 2.860 | 3.160 | 3.373 |
0.674 | 0.842 | 1.036 | 1.282 | 1.645 | 1.960 | 2.326 | 2.576 | 2.807 | 3.090 | 3.291 |
{\displaystyle {\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}