斯皮尔曼相关系（Spearman‘s rank correlation coefficient）数理论及python代码

1. 引言
2. 什么是斯皮尔曼相关系数
3. python应用案例

1. 引言

让我用一个简单的方式来解释斯皮尔曼相关系数的计算方法。

想象你和你的朋友们在玩一个游戏，比如赛跑。在比赛结束后，每个人都根据跑得快慢得到一个排名，跑得最快的得第一名，其次是第二名，以此类推。

现在，假设我们还知道每个人在学校的成绩排名。我们想知道，跑步的快慢和学校成绩好坏是否有关系。也就是说，跑得快的人是不是在学校也学得好，或者跑得慢的人是不是学习也不那么好。

斯皮尔曼相关系数就是帮助我们找出这种关系的一个工具。它的计算方法有点像数学游戏：

排名差异：首先，我们看每个人在赛跑和学习上的排名有多少不同。比如，如果你在赛跑中是第一名，但在学习中是第三名，那么你的排名差异就是2。
计算差异的平方：然后，我们把每个人的排名差异乘以自己（也就是平方），比如刚才的2变成4。
加总和计算：我们把所有人的这些平方加起来，然后用一个特别的公式来计算最终的数字。这个公式考虑到了有多少人参加游戏，并且会根据我们加起来的总数做一些计算。
得到相关系数：最后，这个特别的公式会给我们一个介于-1到1之间的数字。如果这个数字接近1，就意味着跑得快的人通常学习也好；如果接近-1，就意味着跑得快的人学习可能不太好；如果是0，就说明赛跑速度和学习好坏之间没有什么关系。

就这样，通过一个有趣的数学游戏，我们可以知道两件事情之间是否有某种关联！

2. 什么是斯皮尔曼相关系数

斯皮尔曼相关系数（Spearman’s rank correlation coefficient）是用于衡量两个变量之间关系的统计指标，特别适用于非线性关系或非正态分布的数据。与皮尔逊相关系数不同，斯皮尔曼相关系数不是基于原始数据，而是基于数据的排名（rank）。

基本原理

斯皮尔曼相关系数实际上是评估两个变量的排名之间关系的强度和方向。
它不需要数据在数学上是连续或正态分布的，适用于定序尺度的数据。

计算方法

斯皮尔曼相关系数的计算涉及以下步骤：

对每个变量的每个值进行排名。
计算两个变量的排名之间的差异。
使用以下公式计算斯皮尔曼相关系数：

r s = 1 − 6 ∑ d i 2 n ( n 2 − 1 ) r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)} rs=1−n(n2−1)6∑di2

其中：

d i d_i di 是两个变量的排名差异。
n n n 是数据点的数量。

值的范围和解释

斯皮尔曼相关系数的值介于 -1 和 1 之间。
+1 表示完全正相关，排名完全匹配。
-1 表示完全负相关，一个排名升高时另一个排名降低。
0 表示没有相关性。

应用场景

斯皮尔曼相关系数适用于以下情况：

变量是非参数的或不符合正态分布。
数据是等级（rank）或顺序的，例如调查问卷的等级响应。
当你怀疑两个变量之间的关系可能是非线性的时。

例如，如果你想分析人们对电影的喜爱程度（通过等级排名）与其票房收入之间的关系，斯皮尔曼相关系数可能是一个合适的选择。

3. python应用案例

当然可以！我将提供一个简单的Python应用案例，其中使用斯皮尔曼相关系数来分析两个变量之间的关系。在这个例子中，我将构造一组数据来模拟学生的阅读习惯（每周阅读的小时数）与他们的写作技能评分之间的关系。

案例：阅读习惯与写作技能评分的相关性分析

假设我们有一组学生，我们记录了他们每周的阅读时间（小时）以及他们在写作技能评估中的得分。我们想要分析阅读时间和写作技能评分之间是否存在关系。

数据构造

我们构造10名学生的数据如下：

每周阅读时间（小时）: [2, 5, 3, 8, 6, 1, 4, 7, 9, 10]
写作技能评分（分数）: [60, 80, 65, 88, 85, 55, 70, 90, 95, 100]

Python代码

下面是使用Python计算斯皮尔曼相关系数的代码：

import pandas as pd
import scipy.stats as stats

# 构造数据
data = {
    'Reading Hours': [2, 5, 3, 8, 6, 1, 4, 7, 9, 10],
    'Writing Scores': [60, 80, 65, 88, 85, 55, 70, 90, 95, 100]
}
df = pd.DataFrame(data)

# 计算斯皮尔曼相关系数
spearman_corr = df.corr(method='spearman')
print("斯皮尔曼相关系数:\n", spearman_corr)

# 另一种方法直接使用scipy
spearman_corr_value, _ = stats.spearmanr(df['Reading Hours'], df['Writing Scores'])
print("斯皮尔曼相关系数值:", spearman_corr_value)

这段代码首先构造了包含每周阅读时间和写作技能评分的数据集，然后使用Pandas的 corr 方法和SciPy的 spearmanr 函数来计算这两个变量之间的斯皮尔曼相关系数。

结果解释

运行这段代码后，你会得到一个介于-1到1之间的相关系数值。如果这个值接近1，那就表示每周的阅读时间和写作技能评分之间存在强正相关，即阅读时间越长，写作评分越高。如果这个值接近0，则表示两者之间没有明显的单调关系。

赵孝正