一、BN介绍
1.原理
在机器学习中让输入的数据之间相关性越少越好，最好输入的每个样本都是均值为0方差为1。在输入神经网络之前可以对数据进行处理让数据消除共线性，但是这样的话输入层的激活层看到的是一个分布良好的数据，但是较深的激活层看到的的分布就没那么完美了，分布将变化的很严重。这样会使得训练神经网络变得更加困难。所以添加BatchNorm层，在训练的时候BN层使用batch来估计数据的均值和方差，然后用均值和方差来标准化这个batch的数据，并且随着不同的batch经过网络，均值和方差都在做累计平均。在测试的时候就直接作为标准化的依据。
这样的方法也有可能导致降低神经网络的表示能力，因为某些层的全局最优的特征可能不是均值为0或者方差为1的。所以BN层也是能够进行学习每个特征维度的缩放gamma和平移beta的来避免这样的情况。
2.BN层前向传播
def batchnorm_forward(x, gamma, beta, bn_param):
"""先进行标准化再进行平移缩放
running_mean = momentum * running_mean + (1 - momentum) * sample_mean
running_var = momentum * running_var + (1 - momentum) * sample_var
Input:
- x: (N, D) 输入的数据
- gamma: (D,) 每个特征维度数据的缩放
- beta: (D,) 每个特征维度数据的偏移
- bn_param: 字典，有如下键值:
- mode: 'train'/'test' 必须指定
- eps: 一个常量为了维持数值稳定，保证不会除0
- momentum: 动量
- running_mean: (D,) 积累的均值
- running_var: (D,) 积累的方差
Returns:
- out: (N,D)
- cache: 反向传播时需要的数据
"""
mode = bn_param['mode']
eps = bn_param.get('eps', 1e-5)
momentum = bn_param.get('momentum', 0.9)
N, D = x.shape
running_mean = bn_param.get('running_mean', np.zeros(D, dtype=x.dtype))
running_var = bn_param.get('running_var', np.zeros(D, dtype=x.dtype))
out, cache = None, None
if mode == 'train':
sample_mean = np.mean(x, axis=0)
sample_var = np.var(x, axis=0)
# 先标准化
x_hat = (x - sample_mean)/(np.sqrt(sample_var + eps))
# 再做缩放偏移
out = gamma * x_hat + beta
cache = (gamma, x, sample_mean, sample_var, eps, x_hat)
running_mean = momentum * running_mean + (1-momuntum)*sample_mean
running_var = momentum * running_var + (1-momentum)*sample_var
elif mode == 'test':
# 先标准化
#x_hat = (x - running_mean)/(np.sqrt(running_var+eps))
# 再做缩放偏移
#out = gamma * x_hat + beta
# 或者是下面的骚写法
scale = gamma/(np.sqrt(running_var + eps))
out = x*scale + (beta - running_mean*scale)
else:
raise ValueError('Invalid forward batchnorm mode "%s"' % mode)
bn_param['running_mean'] = running_mean
bn_param['running_var'] = running_var
return out, cache
3.BN层反向传播
def batchnorm_barckward(out, cache):
"""反向传播的简单写法，易于理解
Inputs:
- dout: (N,D) dloss/dout
- cache: (gamma, x, sample_mean, sample_var, eps, x_hat)
Returns:
- dx: (N,D)
- dgamma: (D,) 每个维度的缩放和平移参数不同
- dbeta: (D,)
"""
dx, dgamma, dbeta = None, None, None
# unpack cache
gamma, x, u_b, sigma_squared_b, eps, x_hat = cache
N = x.shape[0]
dx_1 = gamma * dout # dloss/dx_hat = dloss/dout * gamma (N, D)
dx_2_b = np.sum((x - u_b) * dx_1, axis=0)
dx_2_a = ((sigma_squared_b + eps)**-0.5)*dx_1
dx_3_b = (-0.5) * ((sigma_squared_b + eps)**-1.5)*dx_2_b
dx_4_b = dx_3_b * 1
dx_5_b = np.ones_like(x)/N * dx_4_b
dx_6_b = 2*(x-u_b)*dx_5_b
dx_7_a = dx_6_b*1 + dx_2_a*1
dx_7_b = dx_6_b*1 * dx_2_a*1
dx_8_b = -1*np.sum(dx_7_b, axis=0)
dx_9_b = np.ones_like(x)/N * dx_8_b
dx_10 = dx_9_b + dx_7_a
dgamma = np.sum(x_hat * dout, axis=0)
dbeta = np.sum(dout, axis=0)
dx = dx_10
return dx, dgamma, dbeta
下面是直接使用公式来计算：
def batchnorm_backward_alt(dout, cache):
dx, dgamma, dbeta = None, None, None
# unpack cache
gamma, x, u_b, sigma_squared_b, eps, x_hat = cache
N = x.shape[0]
dx_hat = dout * gamma
dvar = np.sum(dx_hat* (x - sample_mean) * -0.5 * np.power(sample_var + eps, -1.5), axis = 0)
dmean = np.sum(dx_hat * -1 / np.sqrt(sample_var +eps), axis = 0) + dvar * np.mean(-2 * (x - sample_mean), axis =0)
dx = 1 / np.sqrt(sample_var + eps) * dx_hat + dvar * 2.0 / N * (x-sample_mean) + 1.0 / N * dmean
dgamma = np.sum(x_hat * dout, axis = 0)
dbeta = np.sum(dout , axis = 0)
return dx, dgamma, dbeta
4.BN有什么作用
- 对于不好的权重初始化有更高的鲁棒性，仍然能得到较好的效果。
- 能更好的避免过拟合。
- 解决梯度消失/爆炸问题，BN防止了前向传播的时候数值过大或者过小，这样就能让反向传播时梯度处于一个较好的区间内。
二、卷积神经网络中的BN
1.前向传播
def spatial_batchnorm_forward(x, gamma, beta, bn_param):
"""利用普通神经网络的BN来实现卷积神经网络的BN
Inputs:
- x: (N, C, H, W)
- gamma: (C,)缩放系数
- beta: (C,)平移系数
- bn_param: 包含如下键的字典
- mode: 'train'/'test'必须的键
- eps: 数值稳定需要的一个较小的值
- momentum: 一个常量，用来处理running mean和var的。如果momentum=0 那么之前不利用之前的均值和方差。momentum=1表示不利用现在的均值和方差，一般设置momentum=0.9
- running_mean: (C,)
- running_var: (C,)
Returns:
- out: (N, C, H, W)
- cache: 反向传播需要的数据，这里直接使用了普通神经网络的cache
"""
N, C, H, W = x.shape
# transpose之后(N, W, H, C) channel在这里就可以看成是特征
temp_out, cache = batchnorm_forward(x.transpose(0, 3, 2, 1).reshape((N*H*W, C)), gamma, beta, bn_param)
# 再恢复shape
out = temp_output.reshape(N, W, H, C).transpose(0, 3, 2, 1)
return out, cache
2.反向传播
def spatial_batchnorm_backward(dout, cache):
"""利用普通神经网络的BN反向传播实现卷积神经网络中的BN反向传播
Inputs:
- dout: (N, C, H, W) 反向传播回来的导数
- cache: 前向传播时的中间数据
Returns:
- dx: (N, C, H, W)
- dgamma: (C,) 缩放系数的导数
- dbeta: (C,) 偏移系数的导数
"""
dx, dgamma, dbeta = None, None, None
N, C, H, W = dout.shape
# 利用普通神经网络的BN进行计算 (N*H*W, C)channel看成是特征维度
dx_temp, dgamma, dbeta = batchnorm_backward_alt(dout.transpose(0, 3, 2, 1).reshape((N*H*W, C)), cache)
# 将shape恢复
dx = dx_temp.reshape(N, W, H, C).transpose(0, 3, 2, 1)
return dx, dgamma, dbeta