2020年认证杯SPSSPRO杯数学建模
B题 分布式无线广播
原题再现：
以广播的方式来进行无线网通信，必须解决发送互相冲突的问题。无线网的许多基础通信协议都使用了令牌的方法来解决这个问题，在同一个时间段内，只有唯一一个拿到令牌的通信节点才能发送信息，发送完毕后则会将令牌传递给其他节点。但我们考虑这样的一个无线网：每个通信节点都是低功率的发射器，并且在进行着空间上的低速连续运动 (无法预知运动方向及其改变的规律)，所以对一个节点而言，只有和它距离在一定范围之内的节点才能收到它的信号，而且节点会 (在未声明的情况下) 相互接近或远离。每个节点需要不定期地、断续地发送信息，但会时刻保持收听信息。发送和收听工作可以同时进行。在这个通信网络中，完全没有网络的基础设施，而且每个节点只需要把自己的信息广播出去，需要此条信息的节点只需要被动收听即可，并不需要点对点地持续交换信息。所有信息只能使用同一个频率发送，一旦有两个或多个节点的广播发生冲突，能同时收听到它们的节点就都能监听到冲突。
第二阶段问题： 我们假设每条信息 (广播) 发送时所需的时间是不等长的，但都是某个最小时间单位 (不妨设为秒) 的整数倍。请建立合理的数学模型并解决如下问题。
1. 假设对每个节点来说，发送信息所需的时间都服从泊松分布，但不同节点对应的泊松分布的参数 λ 不同，而且互相并不知道参数。那么以怎样的策略自动调整重发的时间段，才能使网络的整体通信效率尽可能高?
2. 如果每个节点待发送的信息都分成两类，一类信息发送时所需的时间服从泊松分布，另一类所需的时间则服从幂律分布，这个改变对重发策略有什么影响?
整体求解过程概述(摘要)
针对问题一，首先根据题中通信节点发送信息的无规律性，将连续的时间离散化，以此为基础分析每个单位时间节点上的网络系统状态，并根据通信节点的广播有效距离将冲突分为：有效冲突和无效冲突。接着设计内置算法的三种冲突重发方案：随机生成等待、等差递增等待和截断二进制指数退避。然后分类通信节点状态，并根据真实网络运行分析出通信节点状态相互转换规律，由此建立起通信模型。利用蒙特卡洛仿真实现该通信模型。求解模型时，借助 matlab 实现三种内置算法，考虑发送信息时间的泊松分布，作为输入仿真参数之一实现仿真过程。将广播来源率作为自变量，通信效率指标作为因变量，得到三种通信效率指标随广播来源率的变化，对比分析发现方案三（截断二进制指数退避）网络通信效率最佳。最后结合模型求解结果比较，在现有模型的基础上加以改进，设计自学习算法，动态调整参数，以适应当前的网络状态，提高系统的效率。
针对问题二，首先分析两类发送信息特性，根据通信节点发送信息的无规律性将通信节点再分类为两类简化计算。然后结合现实网络发送信息时长特性，设置两类分布参数。接着用第一问中的通信模型及蒙特卡洛仿真，得出内置算法中三种冲突重发方案的网络通信效率随两类信息发送量比的变化对比，最后分析发现仍是方案三（截断二进制指数退避）网络通信效率最佳。最后通过实验进一步探究信息发送时长分布对网络通信效率的影响，发现整个网络信息发送时长的期望与网络通信效率成正相关，有力地验证了模型的合理性。
问题分析：
问题一分析
对于问题一，根据题中通信节点发送信息的无规律性，将连续的时间离散化，以此为基础分析每个单位时间节点上的网络系统状态。接着由题中要求：对一个节点而言，只有和它距离在一定范围之内的节点才能收到它的信号，而且节点会 (在未声明的情况下) 相互接近或远离，将冲突分为：有效冲突和无效冲突，再针对冲突设计内置算法的三种冲突重发方案：随机生成等待、等差递增等待和截断二进制指数退避。然后分类通信节点状态，并根据真实网络运行分析出通信节点状态相互转换规律，建立起通信模型。利用蒙特卡洛仿真实现该通信模型。最后求解模型，借助 matlab 实现三种内置算法，考虑发送信息时间的泊松分布，作为输入仿真参数之一实现仿真过程。将广播来源率作为自变量，通信效率指标作为因变量，探究三种通信效率指标随广播来源率的变化，分析比较三种冲突重发方案的网络通信效率。最后结合模型求解结果分析，在现有模型的基础上加以改进，设计自学习算法，动态调整参数，以适应当前的网络状态，提高系统的效率。
问题二分析
对于问题二，首先分析两类发送信息特性，根据通信节点发送信息的无规律性将通信节点再分类为两类以简化计算。然后结合现实网络发送信息时长特性，设置两类分布参数。接着用第一问中的通信模型及蒙特卡洛仿真，得出内置算法中三种冲突重发方案的网络通信效率随两类信息发送量比的变化对比，分析三种冲突重发方案的网络通信效率。最后通过实验进一步探究信息发送时长分布对网络通信效率的影响以验证模型的合理性。
模型假设：
1. 所有通信节点都只在单位时间节点上发送信息；
2. 低功率发射器，忽略电磁波的传播时延；
3. 通信节点在上一次广播还未发送或还未发送完时，不会需要发下一次广播；
4. 信息的发送不考虑处理时延与排队时延，即总时延等于传播时延与发送时延之和；
5. 所有的节点都拥有同样的内置算法，并拥有一个校准过的高精度时钟；
6. 所有节点能正常运行，不会出现故障。
论文缩略图：
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部分程序代码：(代码和文档not free)
1. function[a1,a2,a3]=communicate(source,plan,self,s,f)
2.
3. %source（m*n）矩阵表示 m 个节点，n 个广播来源的时间点
4. %pointer（m*1）矩阵表示 m 个节点，每个节点当前已有广播来源的序号
5. %cache（m*4）矩阵表示 m 个节点，第一列表示下次重发时间点，第二列表示当前已
经重发次数，第三列表示当前缓冲区个数，第四列表示连续性（冲突置 1，发送置 0），
第五列表示其发送时间符合的分布（0 泊松分布，1 幂律分布，2 期望，3 方差），
第六列表示其分布参数
6. %send（m*1）表示 m 个节点，当前节点剩余发送时间点
7.
8. %设置环境
9. m=100; %节点数
10. %n=5000; %来源数（不一定都用得上）
11. %s=1; %轻载或重载
12. %t_z=50; %一次发送占用的时间数
13. k_=10; %截断
14. n_=16; %丢弃指标
15. %plan=0; %方案 3
16.
17. %初始化
18. chongtu=0;
19. diuqi=0;
20. t_sum=100000; %总的模拟时间数（在当前时间点处理下个时间间隔的过程）
21. t_now=1; %当前时间数
22. %source=fun1(m,n,s);
23. pointer=ones(m,1); %表示下一个要来的广播是多少号
24. cache=zeros(m,6)+fun3(m,f,s); %s 表示幂律占比，中间参数表示问题，只要占比
为 0 就是第一问
25. send=zeros(m,1);
26. channel=zeros(t_sum,1)-1; %用于记录信道状态
27.
28. %开始循环
29. for i=1:t_sum
30. send_now=sum(send~=0);
31. channel(i,1)=send_now;
32. %当前信道被占用
33. if send_now>=1
34. %当前信道只被一个节点占用
35. if send_now==1
36. %更新 send 矩阵
37. send=send-1;
38. send(send==-1)=0;
39.
40. %当前信道被多个节点占用（即发生冲突）
41. elseif send_now>=2
42. %调用退避函数，并清零 send 矩阵
43.
[cache,send,diuqi]=tuibi(plan,cache,send,t_now,k_,n_,diuqi,self,channel)
;
44. chongtu=chongtu+1;
45. end
46.
47. %当前信道未被占用
48. elseif send_now==0
49. for j=1:m
50. if cache(j,1)==0
51. if cache(j,3)>0
52. send(j,1)=t_z(cache(j,5),cache(j,6));
53. cache(j,3)=cache(j,3)-1;
54. if cache(j,4)==0
55. cache(j,2)=0;
56. elseif cache(j,4)==1
57. cache(j,4)=0;
58. end
59. end
60. end
61. end
62. send=send-1;
63. send(send==-1)=0;
64. end
65.
66. %最后更新 t_now 和 cache
67. [cache_t,pointer,cache]=fun2(source,pointer,cache,t_now);
68. cache=cache+[zeros(m,2),cache_t,zeros(m,3)];
69. t_now=t_now+1;
70. end
71.
72. a1=sum(channel==1)/t_sum;
73. a2=diuqi/sum(pointer);
74.
75. count=0;
76. for i=1:t_sum
77. if channel(i,1)>=2
78. count=count+channel(i,1);
79. elseif channel(i,1)==1
80. if i~=0
81. if channel(i-1)~=1
82. count=count+1;
83. end
84. end
85. end
86. end
87. a3=sum(channel(channel>=2))/count;