2017年认证杯SPSSPRO杯数学建模
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗
原题再现：
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请你建立合理的数学模型解决如下问题。
第二阶段问题：
4. 假定你是某移动端考研产品企业的市场总监，公司需要你负责在问题3 中的城市推广产品。你计划针对该城市的特点再做一次大规模的市场问卷调研，请为这次调研设计调查问卷，并详细说明问卷的设计思路和预期目标。
5. 公司要对自己的一款移动端考研产品进行全国定价。该产品的课程是由顶级名师讲授的，并且配有配套的教材和在线答疑服务，预计每年的固定成本是 300 万元（不计市场推广费用），请分别以市场占有率优先和利润优先为原则，建立数学模型，为公司制定两套定价方案。
6. 如果公司仅仅把移动端产品作为面授产品的辅助，以一个账号 200 元人民币的价格或者报名面授课直接赠送账号的方式销售，这样可以节省原计划在移动端产品市场推广每年 200 万元的预算，请结合实际情况，探讨这种做法是否有利于扩大移动端产品的市场占有率。
整体求解过程概述(摘要)
本文针对考研移动端产品的问卷设计、产品定价和销售方案的比较问题，运用灰色预测、模糊综合评价、折扣定价策略、最优价格模型、Bass扩散模型和多Agent仿真等方法建立数学模型，编制出适合的调查问卷，有利于市场推广，定制了市场占有率优先和利润优先两种定价策略并比较了移动端的两种销售方式。
针对问题四，选取北京作为推广城市，以 2018 年作为预计推广时间，首先我们对原有数据进行分析，确定了一线城市用户大致面貌，结合建立用户角色和分析市场竞品两个目的确定了问卷设计模型，编制了 36 道题目。其次，为了确定预期目标，我们对北京 2018 年的社会发展情况进行灰色预测，确定了 2018 年北京市考研人数、GDP、教育产品价格指数。最后，结合问卷得到的预期数据和 2018 年北京市发展状况，我们给出了问卷调查的预期；主要预期是通过模糊综合评价模型计算出推广力度和推广风险，有利于推广方案的制定；次要预期是通过聚类算法进行用户角色的建立并分析市场和竞品情况。
针对问题五，首先，以市场占有率优先为原则，我们采用了折扣定价策略，由最低利润和成本价建立了最低价格数学模型，得到单品最低价格为 174.6 元，并采用奇零定价法矫正得到最低价格 174.69 元。然后，以利润优先为原则，我们采用了最优价格模型，通过产品价格、销售量之间的平衡确定了产品的单品最优价格为 198.3 元，同样采用奇零定价法矫正，得到最优价格 198.39 元。
针对问题六，为了求解把移动端产品作为面授课的辅助产品这种方式与原来投入200 万元推广费相比是否能更加有效的提高市场占有率。首先我们引入了 Bass 扩散模型，将用户群体分为两类，确定了三个影响市场占有率的参量，构建了预测评估市场占有率的体系。随后，我们采用了一个基于 Bass 模型的推广新产品的多 Agent 仿真方法，并确立了两种方案下各项元素的值，运用 AnyLogic 仿真软件对实际情况进行模拟，最后根据仿真结果进行分析，发现把移动端产品作为面授课的辅助产品不利于扩大市场占有率。
问题分析：
问题四第一小问
第一小问要求我们针对某一城市特点为了方便市场推广设计一份调查问卷，首先我们要确定调查问卷的目的：描绘用户角色、分析竞品、决定推广力度、算出推广风险。首先，我们需要根据原有的调查问卷描绘出相关城市的客户大致面貌，再由此设计出描绘用户角色和分析竞品应有的题目方向。在查阅相关调查问卷后，参考已有的问卷题目和我们的题目方向设计出具体的题目。
问题四第二小问的分析
第二小问要求我们给出问卷调查的预期目标，·我们认为，这个目标应当是与调查目标相符的，具体包括以下几个方面：描绘用户角色、结合城市特点与本调查问卷决定推广力度、计算推广风险。具体来说，我们先从 10000 份问卷中经过初步的数据分析描绘出北上广深等一线城市目标用户大体情况，通过设计的调查问卷中各个题目聚类分析计算用户角色。我们选取 2018 年为推广年份，通过近年北京的发展情况采用灰色预测模型预测 2018 年北京城市发展情况（经济情况、考研人数情况、教育文化产品价格知识情况），将城市发展情况与调查问卷得到的用户角色和竞品分析结合，选取其中可能产生影响的指标，利用模糊综合评价模型计算推广力度和推广风险并给出了具体的方案。希望通过城市特点与调查问卷得到的数据结合，综合计算推广力度和推广风险。
问题五第一小问的分析
以市场占有率为主，先用薄利多销的策略，给产品较低价格（但不低于产品成本价），最低价格由最低利润和成本价决定，建立低价策略的数学模型。此时就给出了一个以市场占有率为重点的定价方案。为了迅速扩大市场占有率，需要设定一个比市场上同产品较低的价格，利用折扣定价策略的思想我们建立最低价格模型。折扣定价策略是在对某一商品在市场上供过于求时，需要相应的降低价格，提高市场占有率。对于我们的新产品（移动端产品），在市面上有很多同产品，要想尽快的占领一定的市场，需要较大程度的满足消费者最关注的问题，即价格问题。因此建立最低价格模型。
问题五第二小问的分析
以利润为目标制定定价方案，确定产品价格，通过建立最优价格模型来实现。我们仍以类似产品的销售价格作为我们产品的销售价格，建立利润函数、需求函数、同时写出与价格相关的总收入函数和总成本函数，对它们关于价格变量求微分，其值在数量经济学中被分别称为边际收入与边际成本：当边际收入等于边际成本时工厂获取的总利润最大，换言之当边际收入等于边际成本时商品在市场销售中取得最优价格。
问题六的分析
探讨将移动端产品作为面授课产品的辅助是否有利于提高市场占有率，实际上是求解这种方式与原来投入 200 万元推广费相比市场占有率是否有增加。首先我们引入了Bass 扩散模型，将用户群体分为两类，确定了三个影响市场占有率的参量，构建了预测评估市场占有率的体系。随后，我们采用了一个基于 Bass 模型的推广新产品的多 Agent仿真方法，并确立了两种方案下各项元素的值，运用 AnyLogic 仿真软件对实际情况进行模拟，最后对仿真结果进行分析与比较来判断这种方法是否有利于扩大市场占有率。
模型假设：
1. 假设从现在到 2018 年社会稳定，能够通过前几年社会发展情况预测 2018 年北京社会发展情况及考研人数。
2. 假设问卷调查是服务于产品推广的，产品推广受城市发展情况、考研市场情况、用户群体、同类产品市场竞争状况影响。
3. 假设调查问卷在发布时选取样本随机，结果准确无误。
4.假设两种考研移动端销售方式的消费市场地域范围固定、市场容量恒定。
论文缩略图：
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部分程序代码：(代码和文档not free)
function [y,p,e]=huise_1_1(X,k) %灰色模型的 malab 程序
if nargout>3;
error('Too many output argument.');
end
if nargin==1,k=1;x_orig=X;
elseif nargin==0|nargin>2
error('Wrong number of input arguments.');
end
x_orig=X;
predict=k; %AGO 处理，即是对初始数列进行一阶累加
x=cumsum(x_orig); %计算系数(a 和 u)
n=length(x_orig); %生成矩阵 B
for i=1:(n-1);
B(i)=-(x(i)+x(i+1))/2;
end
B=[B' ones(n-1,1)]; %生成矩阵 Y
for i=1:(n-1);
y(i)=x_orig(i+1);
end
Y=y'; %计算系数 a=au(1) u=au(2)
au=(inv(B'*B))*(B'*Y);
%把模型公式转换成符号
coef1=au(2)/au(1);
coef2=x_orig(1)-coef1;
coef3=0-au(1);
costr1=num2str(coef1);
costr2=num2str(abs(coef2));
costr3=num2str(coef3);
eq=strcat(costr1,'+',costr2,'e^',costr3,'*(t-1))'); %计算每一个值
for t=1:(n+predict)
mcv(t)=coef1+coef2*exp(coef3*(t-1));
end
x_mcv0=diff(mcv);
x_mcve=[x_orig(1) x_mcv0] %输出图形中的各点
x_mcv=diff(mcv(1:end-predict));
x_orig_n=x_orig(2:end);
x_c_error=x_orig_n-x_mcv;
x_error=mean(abs(x_c_error./x_orig_n));
if x_error>0.2 %相对误差的均值
disp('model disqualification!');
elseif x_error>0.1
disp('model check out');
else
disp('model is perfect!');
end
plot(1:n,x_orig,'o',1:n+predict,x_mcve);
p=x_mcve(end-predict+1:end); %画出预测模型和初始数列的点
xlabel('年份(从第一个数据年份起)');
ylabel('北京市考研人数/北京市地区生产总值/北京市教育文化用品价格指数');
title('灰度模型 GM(1,1)');
grid on
y=eq;
e=x_error;
p=x_mcve(end-predict+1:end)；