2023/5/14 数值计算方法考试复盘

第一题 问我1-()如果减少乘除次数,那么如何做出变形。

正确解法：

可以利用乘法分配律，将1拆分成1 - 1/2! + 1/2! - 1/3! + 1/3! - ... - 1/n! + 1/n!，然后将拆分出来的两项合并，得到：

1 - (1/2! - 1/2!) - (1/3! - 1/3!) - ... - (1/n! - 1/n!)

可以发现，括号内的两项相互抵消，因此上式等于：

1 - 1/n!

这样就成功地将原式中的多个除法运算变成了单个除法运算，从而减少了乘除次数。

我能从中学到什么？

不会做一道问题是很正常的，重要的是我能够从中找到学习的方法和思路，以便在以后遇到类似的问题时能够更好地解决。

从这道问题中，你可以学到以下几点：

1. 熟悉数学公式和定理的应用：这道问题中的变形，利用了乘法分配律，将1拆分成多项之和。你可以通过熟悉常用的数学公式和定理，来寻找解决问题的思路和方法。

2. 灵活运用数学工具和方法：解决问题并不一定要通过某种特定的方法，可以根据问题的特点和情况，灵活地选择适合的数学工具和方法，来简化计算或者减少运算次数。

3. 多练习和思考：数学是一门需要不断练习和思考的学科。通过多做练习题，多思考解决问题的方法和思路，可以提高自己的数学素养和解决问题的能力。

4. 不要放弃：遇到困难和挫折是很正常的，重要的是不要放弃，要坚持学习和练习。通过不断的努力和实践，你一定能够克服困难，取得进步和成长。

所属模块第一章第四节 5点简化计算步骤 减少运算次数

对于简化计算步骤、减少运算次数的问题，可以从以下几个方面入手：

1. 利用公式和定理：数学中有很多公式和定理，可以用来简化计算步骤，减少运算次数。例如，我们可以使用泰勒展开公式、斯特林公式、拉格朗日插值公式等来简化计算。可以根据题目所给出的公式和定理，找到适合的公式和定理，来简化计算过程。

我可以通过我自己的文章来学习：3.3 泰勒公式

2. 利用数值特点：有些数值具有特定的性质，例如对称性、周期性、循环节等，可以利用这些特点来简化计算。例如，在计算正弦函数时，我们可以利用正弦函数的周期性来减少计算量。在计算几何体积和表面积时，可以利用对称性来减少计算量。

3. 利用递推关系：有些数列和函数具有递推关系，即后一项可以由前面的项通过某种公式计算得到。例如，在计算斐波那契数列时，我们可以利用递推公式f(n)=f(n-1)+f(n-2)来减少计算量。在计算牛顿迭代法的根时，可以利用迭代公式的递推性来减少计算量。

4. 利用数值近似：有些问题在精确计算较为困难时，可以使用数值近似方法来解决。例如，我们可以使用数值积分、数值微分等方法来计算一些难以直接求解的函数值或者积分。在计算复杂函数的导数时，可以使用数值微分法来进行计算。

5. 利用分解和化简：有些复杂的计算可以通过分解和化简来简化计算步骤。例如，在计算多项式乘法时，可以使用多项式分解和拉格朗日插值来简化计算。在计算复杂的三角函数时，可以使用三角函数的恒等式和化简来简化计算。

总的来说，简化计算步骤、减少运算次数的关键是要灵活运用数学工具和方法，根据问题的不同情况选择适合的方法来进行计算。

对这一道题目的复盘：

题目描述：计算 1 - (1/2! + 1/3! + ... + 1/n!)。

解题思路：要计算这个式子，首先需要计算括号内的和。括号内的和可以通过一个循环来计算，循环变量从2到n，每次计算1/k!并将结果加起来。这一步可以用一个循环来实现。

计算括号内的和后，就可以将其带入原式中，用1减去括号内的和，得到最终结果。这一步也很简单，只需要进行一次减法运算即可。

在实现过程中，需要注意以下几点：

1. 计算阶乘时，可以利用上一次计算的结果来减少计算次数，从而提高效率。

2. 可以将1拆分成多项之和，利用乘法分配律，将乘法运算转化为加法运算，从而减少乘法的次数。

3. 在计算过程中，需要注意数值溢出和精度问题，可以选择合适的数据类型和算法来解决。

通过以上方法和思路，就可以有效地解决这道题目。如果在实现过程中遇到问题，可以借助调试工具和其他资源，进行调试和学习。

第二题 复合辛普森公式和复合梯形公式

把区间八等分然后用复合辛普森和复合梯形公式求解

正确答案：

好的，那我们先来看看使用复合梯形公式的求解过程。复合梯形公式的基本思想是将积分区间等分成若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形公式进行近似。具体地，对于等分的$n$个小区间，其区间长度为$h=\frac{b-a}{n}$，则复合梯形公式的近似积分为：

$$
\begin{aligned}
I_n & = \sum_{i=1}^n \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}h \\
& = \frac{h}{2} \left[f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)\right],
\end{aligned}
$$

其中，$x_i = a + ih$，$i=0,1,\ldots,n$。

对于本题，要求的积分是 $\int_0^1 \frac{1}{x}\mathrm{d}x$，可以取 $n=8$ 进行等分，则有 $h=\frac{1-0}{8}=\frac{1}{8}$，$x_i = ih$，$i=0,1,\ldots,8$。代入复合梯形公式中，得到：

$$
I_8 = \frac{1}{16} \left[1+2\sum_{i=1}^{7} \frac{1}{i} + \frac{1}{8}\right] \approx 0.992,
$$

其中用到了 $\ln 2 \approx 0.693$。

接下来我们来看看使用复合辛普森公式的求解过程。复合辛普森公式的基本思想是将积分区间等分成若干个小区间，然后在每个小区间上使用三次样条插值多项式，对其进行积分。具体地，对于等分的 $n$ 个小区间，其区间长度为 $h=\frac{b-a}{n}$，则复合辛普森公式的近似积分为：

$$
\begin{aligned}
I_n & = \sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{h}{3} \left[f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i})\right] \\
& = \frac{h}{3} \left[f(a) + 4\sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor-1} f(x_{2i}) + f(b)\right],
\end{aligned}
$$

其中，$x_i = a + ih$，$i=0,1,\ldots,n$。

对于本题，要求的积分是 $\int_0^1 \frac{1}{x}\mathrm{d}x$，可以取 $n=8$ 进行

对这道题目的复盘：

好的，下面是针对这道题目的复盘：

这道题目是给定一个积分问题，需要用复合辛普森公式和复合梯形公式来求解。这两种方法都是数值积分的基础方法，适用于一般的函数积分计算。

在这道题目中，我们需要将积分区间[0,1]进行八等份划分，然后对每一份应用复合辛普森公式和复合梯形公式进行数值计算，最后将计算结果进行加权平均，得到整个积分的近似值。

在实际计算过程中，我们需要注意以下几点：

1. 每一份的长度应该相等。在进行区间划分时，我们需要确保每一份的长度相等，这样可以保证计算的精度和结果的准确性。

2. 正确选择步长。在进行数值计算时，我们需要根据计算精度和时间复杂度的要求，选择适当的步长。步长过大会降低计算精度，步长过小会增加计算时间，因此需要在两者之间进行平衡。

3. 注意计算精度。在进行计算时，我们需要注意计算精度，避免出现精度误差。可以使用高精度计算方法或增加计算次数来提高计算精度。

4. 检查计算结果。在得到计算结果之后，我们需要检查计算结果是否合理。可以通过比较不同方法得到的结果，或者通过理论计算得到的结果进行比较来验证计算结果的准确性。

综上所述，复合辛普森公式和复合梯形公式是数值积分中常用的方法，适用于一般的函数积分计算。在进行计算时，我们需要注意步长的选择和计算精度的控制，确保计算结果的准确性和稳定性。

没有复习到这个知识点

在考试中遇到了没有复习到的知识点或者题目类型，我可以从中吸取到以下几点教训和启示：

1. 深入学习基础知识。在数学学科中，很多知识点都是相互关联、相互依存的，如果我们没有对基础知识进行深入学习和掌握，很容易在高级内容中迷失方向。因此，我们应该重视基础知识的学习，打好扎实的基础。

2. 练习应用能力。知识点掌握和应用能力是两个不同的层面，仅仅掌握了知识点，但没有实践运用，往往会在实际问题中出现困难。因此，在学习过程中，我们应该注重练习应用能力，多做一些例题和练习题，提高自己的解题能力。

3. 注意考试技巧。在考试中，除了知识点的掌握和应用能力的发挥外，还需要注意考试技巧。比如，在答题前要认真审题，理解题意；在做题过程中要注意计算准确性和结果的合理性等。因此，在平时的学习过程中，我们也应该注重提高自己的考试技巧。

4. 及时寻求帮助。如果在学习或考试过程中遇到困难，应该及时向老师、同学或其他专业人士寻求帮助。在寻求帮助的过程中，我们可以得到更多的信息和建议，帮助自己更好地解决问题。

第三题：LU分解回代过程中把分数化为了小数

学到了什么？

原因由于分母和分子太大了

启发:

以后碰到这类问题我们应该先不乘在一起而是把他们都作为因子，由于回代过程中能约分这样可以大幅提高计算速度，学到了。其实这类题目在高中时期有所提及，但是还是没有吸取教训或者说我的数学计算意识和水平还有技巧还需提高

第四题: 最小二乘法

对这道题目进行最小二乘

正确答案：

具体做一下这道题目。

首先，我们需要找到一个函数来逼近数据点 $(x_i,y_i)$。根据最小二乘法的思想，我们希望这个函数与数据点之间的误差的平方和最小。因此，我们可以选择一个二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 来拟合这些数据点。

然后，我们需要求出系数 $a,b,c$，使得拟合函数 $f(x)$ 最小化误差的平方和。误差的平方和可以表示为：

$$
S(a,b,c) = \sum_{i=1}^n (y_i - f(x_i))^2
$$

其中，$n$ 是数据点的个数。将 $f(x)$ 代入上式，可以得到：

$$
S(a,b,c) = \sum_{i=1}^n (y_i - ax_i^2 - bx_i - c)^2
$$

我们要最小化 $S(a,b,c)$，即对 $a,b,c$ 求导数，令导数为 0：

$$
\frac{\partial S}{\partial a} = -2 \sum_{i=1}^n x_i^2(y_i - ax_i^2 - bx_i - c) = 0
$$

$$
\frac{\partial S}{\partial b} = -2 \sum_{i=1}^n x_i(y_i - ax_i^2 - bx_i - c) = 0
$$

$$
\frac{\partial S}{\partial c} = -2 \sum_{i=1}^n (y_i - ax_i^2 - bx_i - c) = 0
$$

解这个方程组，就可以求出系数 $a,b,c$ 的值。注意到这个方程组是非线性的，需要用数值计算方法求解。

最后，将求出的系数代入 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 中，就得到了拟合函数。