线性代数克莱姆法则的几何含义

以二元一次方程组的求解为例：

{ a c a 1 + b c b 1 = c 1 a c a 2 + b c b 2 = c 2 \left\{\begin{array}{l} a_{c}a_{1} +b_{c}b_{1} =c_{1} \\ a_{c}a_{2} +b_cb_{2} =c_{2} \end{array}\right. {ac​a1​+bc​b1​=c1​ac​a2​+bc​b2​=c2​​

其中 a c a_c ac​和 b c b_c bc​是我们待求的参数。

求解克莱姆法则为：

a c = c 1 b 2 − c 2 b 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 = ∣ c 1 b 1 c 2 b 2 ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ = ∣ c b ∣ ∣ a b ∣ a_{c}=\frac{c_{1} b_{2}-c_{2} b_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}=\frac{\left|\begin{array}{ll} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right|}=\frac{|\mathbf{cb}|}{|\mathbf{ab}|} ac​=a1​b2​−a2​b1​c1​b2​−c2​b1​​= ​a1​a2​​b1​b2​​ ​ ​c1​c2​​b1​b2​​ ​​=∣ab∣∣cb∣​

b c = a 1 c 2 − a 2 c 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 = ∣ a 1 c 1 a 2 c 2 ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ = ∣ a c ∣ ∣ a b ∣ b_{c}=\frac{a_{1} c_{2}-a_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}=\frac{\left|\begin{array}{ll} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right|}=\frac{|\mathbf{ac}|}{|\mathbf{ab}|} bc​=a1​b2​−a2​b1​a1​c2​−a2​c1​​= ​a1​a2​​b1​b2​​ ​ ​a1​a2​​c1​c2​​ ​​=∣ab∣∣ac∣​

注意上面我们把行列式每一列都写成列向量的形式，也即

a = ( a 1 a 2 ) , b = ( b 1 b 2 ) , c = ( c 1 c 2 ) \mathbf{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}, \mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}, \mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix} a=(a1​a2​​),b=(b1​b2​​),c=(c1​c2​​)

上面的方程则改写为：

a c a + b c b = c a_{c}\mathbf{a}+b_{c} \mathbf{b}=\mathbf{c} ac​a+bc​b=c

我们不妨从几何直观来看：

从这个图我们发现【 ( b c b ) (b_c\mathbf{b}) (bc​b)和 a \mathbf a a围成的平行四边形面积】和【 c \mathbf{c} c和 a \mathbf a a围成的平行四边形面积】相等（这里用到了行列式的几何意义，在我的这篇博客里有叙述：线性代数行列式的几何含义。）。

∣ ( b c b ) a ∣ = ∣ c a ∣ \left|\left(b_{c} \mathbf{b}\right) \mathbf{a}\right|=|\mathbf{c a}| ∣(bc​b)a∣=∣ca∣

b c b_c bc​是常数，我们可以提取出来：

于是就有了克莱姆法则：

b c = ∣ c a ∣ ∣ b a ∣ a c = ∣ b c ∣ ∣ b a ∣ b_{c}=\frac{|\mathbf{c a}|}{|\mathbf{b a}|}\\a_{c}=\frac{|\mathbf{b c}|}{|\mathbf{b a}|} bc​=∣ba∣∣ca∣​ac​=∣ba∣∣bc∣​