【计算机视觉|生成对抗】生成对抗网络（GAN）

标题：Generative Adversarial Nets

链接：Generative Adversarial Nets (nips.cc)

摘要

我们提出了一个通过**对抗（adversarial）**过程估计生成模型的新框架，在其中我们同时训练两个模型：

• 一个生成模型G，捕获数据分布

• 一个判别模型D，估计样本来自训练数据还是G的概率。

G的训练过程是最大化D犯错误的概率。

该框架对应于一个极小极大的两人博弈。

在任意函数G和D的空间中，存在一个唯一解决方案，G恢复训练数据分布，D在任何地方都等于1/2。在G和D由多层感知机定义的情况下，可以通过反向传播训练整个系统。在训练或生成样本期间，不需要任何马尔可夫链或展开的近似推理网络。

实验通过生成样本的定性和定量评估展示了该框架的潜力。

1 引言

深度学习的作用是发现丰富的、层次化的模型[2]，它们表示人工智能应用中遇到的数据类型的概率分布，例如自然图像、包含语音的音频波形和自然语言语料库中的符号。

到目前为止，深度学习最引人注目的成功涉及判别模型，通常是将高维、丰富的感觉输入映射到类标签[14, 20]的模型。这些引人注目的成功主要基于反向传播和随机失活算法，使用分段线性单元[17, 8, 9]，它们具有特别良好的梯度行为。

深度生成模型的影响较小，这是由于在最大似然估计和相关策略中出现的许多难 以近似的概率计算，以及在生成环境中难以利用分段线性单元的好处所造成的。我们提出了一种新的生成模型估计过程，可以避开这些困难。

在所提出的对抗网络框架中，生成模型与一个敌手相对立：

• 一个判别模型，学会判断样本是来自模型分布还是数据分布。生成模型可以被看作与一组伪造者相类似，试图生产假货币并在不被检测的情况下使用它

• 判别模型则与警察相类似，试图检测伪造货币

这个游戏中的竞争推动两个团队改进其方法，直到伪造品与真品无法区分。

该框架可以为许多种模型和优化算法产生特定的训练算法。

在本文中，我们探讨了生成模型通过多层感知机（MLP）传递随机噪声生成样本，而判别模型也是多层感知机的特殊情况。我们将此特殊情况称为对抗网络（adversarial nets）。

在这种情况下，我们可以仅使用高度成功的反向传播和随机失活算法[17]来训练两个模型，并仅使用前向传播从生成模型中抽样。不需要近似推断或马尔可夫链。

2 相关工作

直到现在，深度生成模型的大部分工作都集中在提供有规范参数的概率分布函数，然后可以通过最大化对数似然函数来训练模型上。

• 在这类模型中，可能最成功的是深度玻尔兹曼机（deep Boltzmann machine）[25]。
• 这类模型通常具有难以处理的似然函数，因此需要对似然梯度进行多次近似。

这些困难促使“生成机（generative machines）”模型的发展——

• 这些模型不显式地表示似然函数，但能够从所需分布中生成样本。

• 生成随机网络[4]就是一个生成机的例子，它可以通过精确的反向传播进行训练，而不需要像玻尔兹曼机那样进行多次近似。

本文通过消除生成随机网络中使用的马尔可夫链，扩展了生成机的思想。

我们的工作通过利用以下观察，利用生成过程进行导数的反向传播：
lim ⁡ σ → 0 ∇ x E ϵ ∼ N ( 0 , σ 2 I ) f ( x + ϵ ) = ∇ x f ( x ) \lim_{\sigma\rightarrow0}\nabla_{\pmb{x}}\mathbb{E}_{\epsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^{2}\pmb{I})}f(\pmb{x}+\epsilon)=\nabla_{\pmb{x}}f(\pmb{x}) σ→0lim​∇x​Eϵ∼N(0,σ2I)​f(x+ϵ)=∇x​f(x)

当时，我们不知道Kingma和Welling [18]以及Rezende等人[23]已经开发了更通用的随机反向传播规则，可以通过有限方差的高斯分布进行反向传播，并且可以反向传播到协方差参数以及均值参数。

• 这些反向传播规则可以让我们学习生成器的条件方差，在本文中我们将其视为超参数。

Kingma和Welling [18]以及Rezende等人[23]使用随机反向传播来训练变分自动编码器（variational autoencoders，VAEs）。

• 与GAN不同，VAE将一个可微分的生成器网络与第二个神经网络配对。

• 不同于GAN，VAE中的第二个网络是一个执行近似推断的识别模型。

• GAN需要通过可见单元进行微分，因此无法对离散数据建模，而VAE需要通过隐藏单元进行微分，因此无法具有离散潜变量。

还存在其他类似VAE的方法[12, 22]，但与我们的方法关联性较小。

先前的工作也采用了使用判别标准来训练生成模型的方法[29, 13]。这些方法对于深度生成模型来说是难以处理的，因为它们涉及概率的比值，而这些比值不能通过将概率下界的变分近似进行近似来处理。

噪声对比估计（Noise-contrastive estimation，NCE）[13]涉及通过学习使模型对来自固定噪声分布的数据具有区分性的权重来训练生成模型。

• 使用先前训练过的模型作为噪声分布允许训练一系列质量逐渐提高的模型。这可以看作是一种非正式的竞争机制，类似于对抗网络游戏中使用的正式竞争机制。

• NCE的关键局限在于其“鉴别器（discriminator）”是由噪声分布和模型分布的概率密度比率定义的，因此需要能够评估并反向传播这两个密度。

先前的工作使用了两个神经网络相互竞争的一般概念。最相关的工作是可预测性最小化（predictability minimization，下称PM）[26]。在可预测性最小化中，神经网络中的每个隐藏单元被训练得与第二个网络的输出不同，而这第二个网络根据所有其他隐藏单元的值来预测该隐藏单元的值。

本文与可预测性最小化有三个重要的区别：

1. 在本文中，**网络之间的竞争是唯一的训练准则，**足以训练网络。可预测性最小化只是一种鼓励神经网络的隐藏单元在完成其他任务的同时具有统计独立性的正则化器，它不是主要的训练准则。

2. 竞争的性质是不同的。在可预测性最小化中，比较了两个网络的输出，其中一个网络试图使输出相似，而另一个网络试图使输出不同。所涉及的输出是一个单一标量。在GAN中，一个网络产生一个丰富的高维向量，用作另一个网络的输入，并试图得出一个另一个网络不知道如何处理的输入。

3. 学习过程的规范是不同的。可预测性最小化被描述为一个要最小化的目标函数的优化问题，学习接近目标函数的最小值。**GAN基于极小极大博弈而不是优化问题，并且具有一个值函数，其中一个代理试图最大化，而另一个代理试图最小化。**游戏在一个鞍点终止，该鞍点对于一个玩家的策略是一个最小值，对于另一个玩家的策略是一个最大值。

有时人们会将GAN错误地与相关概念“对抗性样本（adversarial examples）”[28]混淆。

• 对抗性样本是通过对分类网络的输入直接使用基于梯度的优化方法找到的例子，目的是找到与数据相似但被错误分类的例子。

• 这与本文的工作不同，因为对抗性样本不是一种训练生成模型的机制。相反，对抗性样本主要是用于分析工具，用于展示神经网络的行为方式，即使两个图像在人类观察者看来几乎无法区分，神经网络也会自信地对它们进行不同的高置信度分类。

• 这种对抗性样本的存在确实暗示着GAN训练可能是低效的，因为它们表明现代判别网络可以自信地识别一类，而无需模拟出该类别的任何人类可感知属性。

3 对抗网络

对抗模型框架在模型都是多层感知机（MLP）时最直接应用。

• 为了学习生成器的数据 x \pmb{x} x上的分布 p g p_g pg​，我们在输入噪声变量 p z ( z ) p_z(z) pz​(z)上定义一个先验，然后将映射的数据空间表示为 G ( z ; θ g ) G(z;\theta_g) G(z;θg​)，其中 G G G是一个由参数 θ g \theta_g θg​表示的多层感知机的可微函数。

• 我们还定义了第二个多层感知机 D ( x ; θ d ) D(\pmb{x};\theta_d) D(x;θd​)，其输出一个标量。 D ( x ) D(\pmb{x}) D(x)代表了 x \pmb{x} x来自真实数据而不是生成分布 p g p_g pg​的概率。

我们训练 D D D以最大化将正确标签分配给训练示例和来自 G G G的样本的概率。

我们同时训练 G G G以最小化 log ⁡ ( 1 − D ( G ( z ) ) ) \log(1-D(G(z))) log(1−D(G(z)))。

换句话说， D D D和 G G G玩以下两人极小极大游戏（two-player minimax game），价值函数为 V ( G , D ) V(G,D) V(G,D)：

min ⁡ G max ⁡ D V ( D , G ) = E x ∼ p data ( x ) [ log ⁡ D ( x ) ] + E z ∼ p z ( x ) [ log ⁡ ( 1 − D ( G ( z ) ) ) ] (1) \mathop{\min}\limits_{G}\mathop{\max}\limits_{D}V(D,G)=\mathbb{E}_{x\sim{p_{\text{data}}(x)}}[\log D(x)]+\mathbb{E}_{z\sim{p_{z}(x)}}[\log(1 - D(G(z)))]\tag{1} Gmin​Dmax​V(D,G)=Ex∼pdata​(x)​[logD(x)]+Ez∼pz​(x)​[log(1−D(G(z)))](1)

在下一节中，我们将提供对抗网络的理论分析，本质上显示训练标准允许在给予 G G G和 D D D足够容量的情况下，即在非参数限制下，恢复数据生成分布。

对于一种不太正式、但是更好理解的方法解释，请参见图1。

在实践中，我们必须使用迭代数值方法来实现游戏。在训练的内部循环中完全优化 D D D在计算上是禁止的，并且在有限的数据集上可能会导致过拟合。相反，我们在优化 D D D的k个步骤和优化 G G G的一个步骤之间交替。只要 G G G的变化足够缓慢，就能使 D D D保持在其最佳解附近。该程序在算法1中正式呈现。

在实践中，等式1可能不提供足够的梯度供 G G G良好学习。在学习的早期阶段，当 G G G表现不佳时， D D D可以高度自信地拒绝样本，因为它们与训练数据明显不同。在这种情况下， log ⁡ ( 1 − D ( G ( z ) ) ) \log(1 - D(G(z))) log(1−D(G(z)))会饱和。我们可以训练 G G G来最大化 log ⁡ D ( G ( z ) ) \log D(G(z)) logD(G(z))，而不是训练 G G G来最小化 log ⁡ ( 1 − D ( G ( z ) ) ) \log(1 - D(G(z))) log(1−D(G(z)))。这个目标函数导致 G G G和 D D D的动态相同的固定点，但在学习早期提供了更强的梯度。

4 理论结果

生成器 G G G隐式地定义了一个概率分布 p g p_g pg​，当 z ∼ p z z \sim p_z z∼pz​时，这个分布作为样本 G ( z ) G(z) G(z)的分布。因此，如果给定足够的容量和训练时间，我们希望算法1收敛到 p d a t a p_{data} pdata​的一个良好估计器。本节的结果是在一个非参数设置中完成的，例如，我们通过研究概率密度函数空间中的收敛来表示具有无限容量的模型。

4.1 p g = p d a t a p_g = p_{data} pg​=pdata​的全局最优性

我们首先考虑任何给定生成器 G G G的最优判别器 D D D。

命题 1 对于固定的 G G G，最优判别器 D D D为
D G ∗ ( x ) = p d a t a ( x ) p d a t a ( x ) + p g ( x ) (2) D^*_G(x) = \frac{p_{data}(x)}{p_{data}(x) + p_g(x)} \tag{2} DG∗​(x)=pdata​(x)+pg​(x)pdata​(x)​(2)

证明：给定任何生成器 G G G，判别器 D D D的训练标准是最大化量 V ( G , D ) V(G, D) V(G,D)

V ( G , D ) = ∫ x p d a t a ( x ) log ⁡ ( D ( x ) ) d x + ∫ z p z ( z ) log ⁡ ( 1 − D ( g ( z ) ) ) d z = ∫ x p d a t a ( x ) log ⁡ ( D ( x ) ) + p g ( x ) log ⁡ ( 1 − D ( x ) ) d x (3) \begin{align} V(G, D) & = \int_x p_{data}(x) \log(D(x))dx + \int_z p_z(z) \log(1 - D(g(z)))dz \\ & = \int_x p_{data}(x) \log(D(x)) + p_g(x) \log(1 - D(x))dx \end{align} \tag{3} V(G,D)​=∫x​pdata​(x)log(D(x))dx+∫z​pz​(z)log(1−D(g(z)))dz=∫x​pdata​(x)log(D(x))+pg​(x)log(1−D(x))dx​(3)

对于任何 ( a , b ) ∈ R 2 ∖ { 0 , 0 } (a, b) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0, 0\} (a,b)∈R2∖{0,0}，函数 y → a log ⁡ ( y ) + b log ⁡ ( 1 − y ) y \rightarrow a \log(y) + b \log(1 - y) y→alog(y)+blog(1−y) 在 [ 0 , 1 ] [0, 1] [0,1] 中达到其最大值，即 a a + b \frac{a}{a+b} a+ba​。判别器不需要在 S u p p ( p d a t a ) ∪ S u p p ( p g ) Supp(p_{data}) \cup Supp(p_g) Supp(pdata​)∪Supp(pg​) 之外定义，从而得出证明。

请注意， D D D的训练目标可以解释为最大化对条件概率 P ( Y = y ∣ x ) P(Y = y|x) P(Y=y∣x)的对数似然估计，其中 Y Y Y表示 x x x是否来自 p d a t a p_{data} pdata​（当 y = 1 y = 1 y=1时）或来自 p g p_g pg​（当 y = 0 y = 0 y=0时）。现在，方程1中的极小极大游戏可以重新表述为：

C ( G ) = max ⁡ D V ( G , D ) = E x ∼ p d a t a [ log ⁡ D G ∗ ( x ) ] + E z ∼ p z [ log ⁡ ( 1 − D G ∗ ( G ( z ) ) ) ] = E x ∼ p d a t a [ log ⁡ D G ∗ ( x ) ] + E x ∼ p g [ log ⁡ ( 1 − D G ∗ ( x ) ) ] = E x ∼ p d a t a [ log ⁡ p d a t a ( x ) p d a t a ( x ) + p g ( x ) ] + E x ∼ p g [ log ⁡ p g ( x ) p d a t a ( x ) + p g ( x ) ] (4) \begin{align} C(G) & = \max_{D} V (G, D) \\ & = \mathbb{E}_{x\sim p_{data}} [\log D^*_{G}(x)] + \mathbb{E}_{z\sim p_z} [\log(1 - D^*_{G}(G(z)))] \\ & = \mathbb{E}_{x\sim p_{data}} [\log D^*_{G}(x)] + \mathbb{E}_{x\sim p_g} [\log(1 - D^*_{G}(x))] \\ & = \mathbb{E}_{x\sim p_{data}} \left[ \log \frac{p_{data}(x)}{p_{data}(x) + p_g(x)} \right] + \mathbb{E}_{x\sim p_g} \left[ \log \frac{p_g(x)}{p_{data}(x) + p_g(x)} \right] \end{align} \tag{4} C(G)​=Dmax​V(G,D)=Ex∼pdata​​[logDG∗​(x)]+Ez∼pz​​[log(1−DG∗​(G(z)))]=Ex∼pdata​​[logDG∗​(x)]+Ex∼pg​​[log(1−DG∗​(x))]=Ex∼pdata​​[logpdata​(x)+pg​(x)pdata​(x)​]+Ex∼pg​​[logpdata​(x)+pg​(x)pg​(x)​]​(4)

定理 1 当且仅当 p g = p d a t a p_g = p_{data} pg​=pdata​ 时，虚拟训练准则 C ( G ) C(G) C(G) 达到全局最小值。在那一点上， C ( G ) C(G) C(G) 达到值 − log ⁡ 4 - \log 4 −log4。

证明：对于 p g = p d a t a p_g = p_{data} pg​=pdata​， D G ∗ ( x ) = 1 2 D^*_G(x) = \frac{1}{2} DG∗​(x)=21​（参考方程2）。因此，通过在 D G ∗ ( x ) = 1 2 D^*_G(x) = \frac{1}{2} DG∗​(x)=21​ 时检查方程4，我们发现 C ( G ) = log ⁡ 1 2 + log ⁡ 1 2 = − log ⁡ 4 C(G) = \log \frac{1}{2} + \log \frac{1}{2} = - \log 4 C(G)=log21​+log21​=−log4。要看到这是 C ( G ) C(G) C(G) 的最佳可能值，只有在 p g = p d a t a p_g = p_{data} pg​=pdata​ 时才能达到，请注意

E x ∼ p d a t a [ − log ⁡ 2 ] + E x ∼ p g [ − log ⁡ 2 ] = − log ⁡ 4 \mathbb{E}_{x\sim p_{data}} [- \log 2] + \mathbb{E}_{x\sim p_g} [- \log 2] = - \log 4 Ex∼pdata​​[−log2]+Ex∼pg​​[−log2]=−log4

并且通过从 C ( G ) = V ( D G ∗ , G ) C(G) = V (D^*_G, G) C(G)=V(DG∗​,G) 中减去此表达式，我们得到：

C ( G ) = − log ⁡ ( 4 ) + KL ( p d a t a | | p d a t a + p g 2 ) + KL ( p g | | p d a t a + p g 2 ) (5) C(G) = - \log(4) + \text{KL} \left( p_{data} \middle| \middle| \frac{p_{data} + p_g}{2} \right) + \text{KL} \left( p_g \middle| \middle| \frac{p_{data} + p_g}{2} \right) \tag{5} C(G)=−log(4)+KL(pdata​ ​ ​2pdata​+pg​​)+KL(pg​ ​ ​2pdata​+pg​​)(5)

其中 KL 是 Kullback–Leibler 散度。我们在上述表达式中识别出模型分布与数据生成过程之间的 Jensen–Shannon 散度：

C ( G ) = − log ⁡ ( 4 ) + 2 ⋅ JSD ( p d a t a ∥ p g ) (6) C(G) = - \log(4) + 2 \cdot \text{JSD} (p_{data} \parallel p_g) \tag{6} C(G)=−log(4)+2⋅JSD(pdata​∥pg​)(6)

由于两个分布之间的 Jensen–Shannon 散度总是非负的，并且仅当它们相等时为零，我们已经证明了 C ∗ = − log ⁡ ( 4 ) C^* = - \log(4) C∗=−log(4) 是 C ( G ) C(G) C(G) 的全局最小值，唯一的解是 p g = p d a t a p_g = p_{data} pg​=pdata​，即生成模型完美复制了数据生成过程。

4.2 算法1的收敛性

命题2 如果 G G G和 D D D有足够的容量，并且在算法1的每一步中，都允许鉴别器 D D D在给定 G G G的情况下达到其最优，并且 p g p_g pg​被更新以改善准则
E x ∼ p d a t a [ log ⁡ D G ∗ ( x ) ] + E x ∼ p g [ log ⁡ ( 1 − D G ∗ ( G ( x ) ) ) ] \mathbb{E}_{x\sim p_{data}} [\log D^*_{G}(x)] + \mathbb{E}_{x\sim p_g} [\log(1 - D^*_{G}(G(x)))] Ex∼pdata​​[logDG∗​(x)]+Ex∼pg​​[log(1−DG∗​(G(x)))]

那么 p g p_g pg​收敛于 p d a t a p_{data} pdata​

证明：考虑 V ( G , D ) = U ( p g , D ) V(G, D) = U(p_g, D) V(G,D)=U(pg​,D)作为 p g p_g pg​的函数，如上述准则所做的那样。注意 U ( p g , D ) U(p_g, D) U(pg​,D)在 p g p_g pg​中是凸的。凸函数的最大值的次导数包括在最大值取得的点处的函数的导数。换句话说，如果 f ( x ) = sup ⁡ α ∈ A f α ( x ) f(x) = \sup_{\alpha\in A} f_\alpha(x) f(x)=supα∈A​fα​(x)且 f α ( x ) f_\alpha(x) fα​(x)对于每个 α \alpha α在 x x x中是凸的，那么 ∂ f β ( x ) ∈ ∂ f \partial f_\beta(x) \in \partial f ∂fβ​(x)∈∂f如果 β = arg ⁡ sup ⁡ α ∈ A f α ( x ) \beta = \arg \sup_{\alpha\in A} f_\alpha(x) β=argsupα∈A​fα​(x)。这等效于在给定对应 G G G的最优 D D D的情况下计算 p g p_g pg​的梯度下降更新。 sup ⁡ D U ( p g , D ) \sup_D U(p_g, D) supD​U(pg​,D)在 p g p_g pg​中是凸的，并且有一个唯一的全局最优值，如定理1所证明的那样，因此，通过对 p g p_g pg​进行足够小的更新， p g p_g pg​收敛于 p x p_x px​，从而得出证明。

实际上，对抗网络通过函数 G ( z ; θ g ) G(z; \theta_g) G(z;θg​)表示 p g p_g pg​分布的有限族，并且我们优化 θ g \theta_g θg​而不是 p g p_g pg​本身。使用多层感知机定义 G G G会在参数空间中引入多个临界点。然而，多层感知机在实践中的出色性能表明，尽管缺乏理论保证，它们仍是合理的模型。

5 实验

我们在一系列数据集上训练了对抗网络，包括MNIST[21]，多伦多人脸数据库(TFD) [27]，和CIFAR-10 [19]。生成器网络使用了整流线性激活[17,8]和S型激活的混合，而鉴别器网络则使用了maxout [9]激活。在训练鉴别器网络时应用了Dropout[16]。虽然我们的理论框架允许在生成器的中间层使用dropout和其他噪声，但我们仅将噪声用作生成器网络的最底层输入。

我们通过将高斯Parzen窗拟合到使用 G G G生成的样本，并报告在此分布下的对数似然来估计测试集数据在 p g pg pg下的概率。高斯的σ参数是通过对验证集进行交叉验证获得的。这个程序最初是在Breuleux等人的工作中[7]引入的，并被用于各种精确似然不可行的生成模型[24,3,4]。结果在表1中报告。这种估计似然的方法具有较高的方差，且在高维空间中表现不佳，但据我们所知，这是最好的可用方法。可以采样但无法直接估计似然的生成模型的进展激发了关于如何评估此类模型的进一步研究。

在图2和图3中，我们展示了训练后从生成器网络中抽取的样本。虽然我们并不声称这些样本优于现有方法生成的样本，但我们相信这些样本至少可以与文献中更好的生成模型相媲美，并突显了对抗框架的潜力。

6 优点和缺点

这个新框架相对于先前的建模框架具有优点和缺点。主要的缺点是没有对 p g ( x ) pg(x) pg(x) 的明确表示，以及训练过程中 D D D 必须与 G G G 很好地同步（特别是，不能在不更新 D D D 的情况下过度训练 G G G，以避免出现“Helvetica情景”，其中 G G G 将太多的 z z z 值塌陷到相同的 x x x 值，从而没有足够的多样性来模拟 p d a t a p_data pd​ata），就像Boltzmann机器在学习步骤之间必须保持负链一样。优点是永远不需要Markov链，只使用反向传播来获得梯度，学习过程中不需要推理，而且可以将各种功能合并到模型中。表2总结了GAN与其他生成建模方法的比较。

上述优点主要是计算方面的。敌对模型还可能从生成器网络不直接用数据示例更新，而只通过通过鉴别器流动的梯度进行更新这一点上获得一些统计优势。这意味着输入的组成部分不会直接复制到生成器的参数中。敌对网络的另一个优点是，它们可以表示非常锐利，甚至是退化的分布，而基于Markov链的方法则要求分布在某种程度上模糊，以便链能够在模式之间混合。

7 结论和未来工作

该框架允许许多直接的扩展：

1. 通过将 c c c 作为 G G G 和 D D D 的输入，可以获得条件生成模型 p ( x ∣ c ) p(x | c) p(x∣c)。
2. 通过训练一个辅助网络来预测给定 x x x 的 z z z，可以执行学习近似推断。这与 wake-sleep 算法[15]训练的推断网类似，但具有优势，即可以在生成网完成训练后针对固定的生成网训练推断网。
3. 可以通过训练一组共享参数的条件模型，大致地对所有条件 p ( x S ∣ x S n o t ) p(x_S | x_{S_{not}}) p(xS​∣xSnot​​) 进行建模，其中 S S S 是 x x x 的索引的子集。本质上，可以使用对抗网来实现确定性 MP-DBM [10]的随机扩展。
4. 半监督学习：当只有有限的标记数据时，来自判别器或推断网络的特征可以提高分类器的性能。
5. 效率改进：通过设计更好的方法来协调 G G G 和 D D D，或确定在训练期间从中采样 z z z 的更好分布，可以大大加速训练。

本文已经展示了对抗建模框架的可行性，表明这些研究方向可能是有用的。

致谢

我们要感谢 Patrice Marcotte、Olivier Delalleau、Kyunghyun Cho、Guillaume Alain 和 Jason Yosinski 为有益的讨论。Yann Dauphin 与我们分享了他的 Parzen 窗口评估代码。我们要感谢 Pylearn2 [11] 和 Theano [6,1] 的开发者，特别是 Frédéric Bastien，他特别为了支持这个项目匆忙推出了一个 Theano 功能。Arnaud Bergeron 在 LATEX 排版方面提供了急需的支持。我们还要感谢 CIFAR 和加拿大研究主席为资助，以及 Compute Canada 和 Calcul Québec 为提供计算资源。Ian Goodfellow 得到了 2013 年 Google Fellowship in Deep Learning 的支持。最后，我们要感谢 Les Trois Brasseurs 刺激了我们的创造力。

参考文献

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