Ch01-1 数学基础-预备知识1
1 数学基础-预备知识
1.1 泰勒公式
1.1.1 一元函数的泰勒公式
1.1.2 二元函数的泰勒公式
令 ρ = Δ x 2 + Δ y 2 , Δ x = ρ cos α , Δ y = ρ sin α \rho =\sqrt{\varDelta x^2+\varDelta y^2},\varDelta x=\rho \cos \alpha ,\varDelta y=\rho \sin \alpha ρ=Δx2+Δy2 ,Δx=ρcosα,Δy=ρsinα，对于邻域上任一点 ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) \left( x_0+\varDelta x,y_0+\varDelta y \right) (x0+Δx,y0+Δy)， f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)的各 n + 1 n+1 n+1阶偏导数的绝对值都不超过一个正数 M M M，则余项的绝对值有：
∣ R n ∣ ⩽ M ( n + 1 ) ! ( ∣ Δ x ∣ + ∣ Δ y ∣ ) n + 1 = M ρ n + 1 ( n + 1 ) ! ( ∣ cos α ∣ + ∣ sin α ∣ ) n + 1 ⩽ 2 M ρ n + 1 \left| R_n \right|\leqslant \frac{M}{\left( n+1 \right) !}\left( \left| \varDelta x \right|+\left| \varDelta y \right| \right) ^{n+1}=\frac{M\rho ^{n+1}}{\left( n+1 \right) !}\left( \left| \cos \alpha \right|+\left| \sin \alpha \right| \right) ^{n+1}\leqslant 2M\rho ^{n+1} ∣Rn∣⩽(n+1)!M(∣Δx∣+∣Δy∣)n+1=(n+1)!Mρn+1(∣cosα∣+∣sinα∣)n+1⩽2Mρn+1
可知： R n R_n Rn是一个比 ρ \rho ρ 高 n n n阶的无穷小。
1.1.3 m元函数（多元函数）的泰勒公式
当 ρ = Δ x 1 2 + Δ x 2 2 + ⋯ + Δ x m 2 → 0 \rho =\sqrt{{\varDelta x_1}^2+{\varDelta x_2}^2+\cdots +{\varDelta x_{\mathrm{m}}}^2}\rightarrow 0 ρ=Δx12+Δx22+⋯+Δxm2 →0时， R n R_n Rn是一个比 ρ \rho ρ 高 n n n阶的无穷小。
1.2 含参变量的积分
设函数 f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)是矩形域 D [ a ⩽ x ⩽ b , c ⩽ y ⩽ d ] D\left[ a\leqslant x\leqslant b,c\leqslant y\leqslant d \right] D[a⩽x⩽b,c⩽y⩽d]上的有界函数，对于 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]上任何固定的 y 0 y_0 y0，函数 f ( x , y 0 ) f\left( x,y_0 \right) f(x,y0)就是 x x x的函数，若这个函数在 [ a , b ] \left[ a,b \right] [a,b]上可积，则 ∫ a b f ( x , y 0 ) d x \int_a^b{f\left( x,y_0 \right)}dx ∫abf(x,y0)dx就唯一地确定一个数，这个数与 y 0 y_0 y0有关，当 y 0 y_0 y0在 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]上变动时，所得到的积分值一般来说是不同的，可表示为：
φ ( y ) = ∫ a b f ( x , y ) d x \varphi \left( y \right) =\int_a^b{f\left( x,y \right)}dx φ(y)=∫abf(x,y)dx
它是 y y y的函数，定义域为 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]，通常称 y y y为参数，它在积分过程中被看做常量，并且积分 ∫ a b f ( x , y ) d x \int_a^b{f\left( x,y \right)}dx ∫abf(x,y)dx称为含参变量积分——讨论含参变量积分的连续性、可导性、可积性
1.2.1 连续性
设函数 f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)在闭区域 D [ a , b ; c , d ] D\left[ a,b;c,d \right] D[a,b;c,d]上连续，则函数 φ ( y ) = ∫ a b f ( x , y ) d x \varphi \left( y \right) =\int_a^b{f\left( x,y \right)}dx φ(y)=∫abf(x,y)dx在闭区域 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]上连续，上述性质可改写为：
lim y → y 0 ∫ a b f ( x , y ) d x = ∫ a b lim y → y 0 f ( x , y ) d x \underset{y\rightarrow y_0}{\lim}\int_a^b{f\left( x,y \right)}dx=\int_a^b{\underset{y\rightarrow y_0}{\lim}f\left( x,y \right)}dx y→y0lim∫abf(x,y)dx=∫aby→y0limf(x,y)dx
即：极限与积分的运算次序可交换——积分号下求极限
1.2.2 积分顺序的可交换性
若函数 f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)在闭区域 D [ a , b ; c , d ] D\left[ a,b;c,d \right] D[a,b;c,d]上连续，则有：
∫ c d d y ∫ a b f ( x , y ) d x = ∫ a b d x ∫ a b f ( x , y ) d y \int_c^d{\mathrm{d}y}\int_a^b{f\left( x,y \right)}dx=\int_a^b{\mathrm{d}x}\int_a^b{f\left( x,y \right)}dy ∫cddy∫abf(x,y)dx=∫abdx∫abf(x,y)dy
即：积分顺序可以交换——积分号下求积分
1.2.3 求导与积分顺序的可交换性
若函数 f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)与 ∂ f ( x , y ) ∂ y \frac{\partial f\left( x,y \right)}{\partial y} ∂y∂f(x,y)在矩形域 D [ a ⩽ x ⩽ b , c ⩽ y ⩽ d ] D\left[ a\leqslant x\leqslant b,c\leqslant y\leqslant d \right] D[a⩽x⩽b,c⩽y⩽d]上连续，则积分 φ ( y ) = ∫ a b f ( x , y ) d x \varphi \left( y \right) =\int_a^b{f\left( x,y \right)}dx φ(y)=∫abf(x,y)dx在闭区域 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]上可导，且有：
d d y ∫ a b f ( x , y ) d x = ∫ a b ∂ f ( x , y ) ∂ y d x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_a^b{f\left( x,y \right)}\mathrm{d}x=\int_a^b{\frac{\partial f\left( x,y \right)}{\partial y}}\mathrm{d}x dyd∫abf(x,y)dx=∫ab∂y∂f(x,y)dx
即：积分与求导次序可以交换——积分号下求微商
1.2.4 莱布尼茨公式
若函数 f ( x , y ) f\left( x,y \right) f(x,y)与 ∂ f ( x , y ) ∂ y \frac{\partial f\left( x,y \right)}{\partial y} ∂y∂f(x,y)在矩形域 D [ a ⩽ x ⩽ b , c ⩽ y ⩽ d ] D\left[ a\leqslant x\leqslant b,c\leqslant y\leqslant d \right] D[a⩽x⩽b,c⩽y⩽d]上连续，又有函数 α ( y ) , β ( y ) \alpha \left( y \right) ,\beta \left( y \right) α(y),β(y)在闭区域 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]上可导，且当 c ⩽ y ⩽ d c\leqslant y\leqslant d c⩽y⩽d时，有 a ⩽ α ( y ) ⩽ b , a ⩽ β ( y ) ⩽ b a\leqslant \alpha \left( y \right) \leqslant b,a\leqslant \beta \left( y \right) \leqslant b a⩽α(y)⩽b,a⩽β(y)⩽b，则有函数：
φ ( y ) = ∫ α ( y ) β ( y ) f ( x , y ) d x \varphi \left( y \right) =\int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{f\left( x,y \right)}dx φ(y)=∫α(y)β(y)f(x,y)dx
在区间 [ c , d ] \left[ c,d \right] [c,d]上可导，且有：
d φ ( y ) d y = d d y ∫ α ( y ) β ( y ) f ( x , y ) d x = ∫ α ( y ) β ( y ) ∂ f ( x , y ) ∂ y d x + f ( β ( y ) , y ) d β ( y ) d y − f ( α ( y ) , y ) d α ( y ) d y \frac{\mathrm{d}\varphi \left( y \right)}{\mathrm{d}y}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{f\left( x,y \right)}dx=\int_{\alpha \left( y \right)}^{\beta \left( y \right)}{\frac{\partial f\left( x,y \right)}{\partial y}}dx+f\left( \beta \left( y \right) ,y \right) \frac{\mathrm{d}\beta \left( y \right)}{\mathrm{d}y}-f\left( \alpha \left( y \right) ,y \right) \frac{\mathrm{d}\alpha \left( y \right)}{\mathrm{d}y} dydφ(y)=dyd∫α(y)β(y)f(x,y)dx=∫α(y)β(y)∂y∂f(x,y)dx+f(β(y),y)dydβ(y)−f(α(y),y)dydα(y)
1.3 场论基础
场是现实世界中的物理量与空间和时间关系的一种表现形式，它是物质存在的一种形态。如果在空间中某个区域内的每一点，都对应着某物理量的一个确定的值，则在此空间区域内称为存在着该物理量的场。
某物理量在场内的分布可表示为空间位置的函数，这样的函数称为该物理量的点函数。当然物理量在场内还可能随时间变化而变化，因而点函数还可以与时间有关。
- 如果一个物理量具有
数量的性质，那么这个物理量所形成的场就称为数量场或标量场。 - 如果一个物理量具有
向量的性质，那么这个物理量所形成的场就称为向量场或矢量场。 - 如果一个物理量具有
张量的性质，那么这个物理量所形成的场就称为张量场。
在物理量的场中，取值为数量的函数称为数量函数或标量函数，取值为向量的函数称为向量函数或矢量函数，取值为张量的函数称为张量函数。点函数、数量函数、向量函数和张量函数都可简称函数。
1.3.1 方向导数与梯度
具有大小和方向的量称为向量或矢量。向量大小的数值称为向量的长度或向量的模。向量 a ⃗ \vec{a} a 的模用 ∣ a ⃗ ∣ \left| \vec{a} \right| ∣a ∣来表示。模等于1的向量称为单位向量或单位矢(量)。模等于零的向量称为零向量或零矢量，记作 0 ⃗ \vec{0} 0 。
函数 φ = φ ( M ) = φ ( x , y , z ) \varphi =\varphi \left( M \right) =\varphi \left( x,y,z \right) φ=φ(M)=φ(x,y,z)的一阶偏导数 ∂ φ ∂ x , ∂ φ ∂ y , ∂ φ ∂ z \frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z} ∂x∂φ,∂y∂φ,∂z∂φ分别表示它在点 M M M沿 x , y , z x,y,z x,y,z轴三个特殊方向上的变化率。然而，在许多问题中，函数 φ = φ ( x , y , z ) \varphi =\varphi \left( x,y,z \right) φ=φ(x,y,z) 沿其他方向的变化率也是有实际意义的，因此有必要研究它在其他方向的导数。
设 M 0 M_0 M0是函数 φ ( M ) \varphi \left( M \right) φ(M)中一个确定的点，过此点引一条直线 L L L,在此直线上取与 M 0 M_0 M0相邻的一动点 M M M,点 M 0 M_0 M0到点 M M M的距离为 M 0 M ‾ \overline{M_0M} M0M,当 M → M 0 M\rightarrow M_0 M→M0时，若比 φ ( M ) − φ ( M 0 ) M 0 M ‾ \frac{\varphi \left( M \right) -\varphi \left( M_0 \right)}{\overline{M_0M}} M0Mφ(M)−φ(M0)的极限存在，则它称为函数 φ ( M ) \varphi \left( M \right) φ(M)在点 M 0 M_0 M0沿着 L L L方向的方向导数，并且记作:
∂ φ ( M 0 ) ∂ L = lim M 0 M ‾ → 0 φ ( M ) − φ ( M 0 ) M 0 M ‾ \frac{\partial \varphi \left( M_0 \right)}{\partial L}=\lim_{\overline{M_0M}\rightarrow 0} \frac{\varphi \left( M \right) -\varphi \left( M_0 \right)}{\overline{M_0M}} ∂L∂φ(M0)=M0M→0limM0Mφ(M)−φ(M0)
由此可见，方向导数是函数 φ ( M ) \varphi \left( M \right) φ(M)在某个给定点沿某方向对距离的变化率。当 ∂ φ ∂ L > 0 \frac{\partial \varphi}{\partial L}>0 ∂L∂φ>0时，函数 φ \varphi φ 沿 L L L方向增加；当 ∂ φ ∂ L < 0 \frac{\partial \varphi}{\partial L}<0 ∂L∂φ<0时，函数 φ \varphi φ沿 L L L方向减少；当 ∂ φ ∂ L = 0 \frac{\partial \varphi}{\partial L}=0 ∂L∂φ=0,函数 φ \varphi φ 沿 L L L方向无变化。
过点 M 0 M_0 M0可取无穷多个方向，每个方向都有与之对应的方向导数。在直角坐标系中，可按下面定理给出的公式计算方向导数。
上式同时可以表示为两个向量的数量积，即：
∂ φ ∂ L = ( ∂ φ ∂ x i ⃗ + ∂ φ ∂ y j ⃗ + ∂ φ ∂ z k ⃗ ) ⋅ ( cos α i ⃗ + cos β j ⃗ + cos γ k ⃗ ) \frac{\partial \varphi}{\partial L}=\left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\vec{k} \right) \cdot \left( \cos \alpha \vec{i}+\cos \beta \vec{j}+\cos \gamma \vec{k} \right) ∂L∂φ=(∂x∂φi +∂y∂φj +∂z∂φk )⋅(cosαi +cosβj +cosγk )
令 L 0 L_0 L0为 L L L的单位向量，与函数 φ \varphi φ无关： L ⃗ 0 = cos α i ⃗ + cos β j ⃗ + cos γ k ⃗ \vec{L}_0=\cos \alpha \vec{i}+\cos \beta \vec{j}+\cos \gamma \vec{k} L 0=cosαi +cosβj +cosγk
令向量 G G G为给定点的固定向量，只与函数 φ \varphi φ有关： G ⃗ = ∂ φ ∂ x i ⃗ + ∂ φ ∂ y j ⃗ + ∂ φ ∂ z k ⃗ \vec{G}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\vec{k} G =∂x∂φi +∂y∂φj +∂z∂φk
进而将上式表示为：
∂ φ ∂ L = G ⃗ ⋅ L ⃗ 0 = ∣ G ⃗ ∣ cos ( G ⃗ , L ⃗ 0 ) \frac{\partial \varphi}{\partial L}=\vec{G}\cdot \vec{L}_0=\left| \vec{G} \right|\cos \left( \vec{G},\vec{L}_0 \right) ∂L∂φ=G ⋅L 0= G cos(G ,L 0)
可知：向量 G ⃗ \vec{G} G 在 L ⃗ 0 \vec{L}_0 L 0方向的投影等于函数 φ \varphi φ在该方向的方向导数。更为重要的是，当选择 L ⃗ 0 \vec{L}_0 L 0的方向与 G ⃗ \vec{G} G 方向一致时，即 cos ( G ⃗ , L ⃗ 0 ) = 1 \cos \left( \vec{G},\vec{L}_0 \right) =1 cos(G ,L 0)=1时，方向导数取得最大值 ∣ G ⃗ ∣ \left| \vec{G} \right| G ,因此 G ⃗ \vec{G} G 方向就是函数 φ ( M ) \varphi \left( M \right) φ(M) 变化率最大的方向。向量 G ⃗ \vec{G} G 称为函数 φ ( M ) \varphi \left( M \right) φ(M)在给定点 M M M处的梯度，记作 g r a d φ = G ⃗ \mathrm{grad}\varphi =\vec{G} gradφ=G 或 ∇ φ = G ⃗ \nabla \varphi =\vec{G} ∇φ=G ，grad是英文gradient的缩写，意为梯度，记号▽形如古希伯莱的一种乐器纳布拉(nabla),称为哈密顿算子、纳布拉算子或 ∇ \nabla ∇算子 (读作nabla算子),有时也称为 Del算子。在直角坐标系中它可表示为：
∇ = i ⃗ ∂ ∂ x + j ⃗ ∂ ∂ y + k ⃗ ∂ ∂ z = ∂ ∂ x i ⃗ + ∂ ∂ y j ⃗ + ∂ ∂ z k ⃗ \nabla =\vec{i}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{k}\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial}{\partial z}\vec{k} ∇=i ∂x∂+j ∂y∂+k ∂z∂=∂x∂i +∂y∂j +∂z∂k
或：
∇ = e ⃗ 1 ∂ ∂ x 1 + e ⃗ 2 ∂ ∂ x 2 + e ⃗ 3 ∂ ∂ x 3 \nabla =\vec{e}_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\vec{e}_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\vec{e}_3\frac{\partial}{\partial x_3} ∇=e 1∂x1∂+e 2∂x2∂+e 3∂x3∂
式中： e ⃗ 1 = i ⃗ , e ⃗ 2 = j ⃗ , e ⃗ 3 = k ⃗ , x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z \vec{e}_1=\vec{i},\vec{e}_2=\vec{j},\vec{e}_3=\vec{k},x_1=x,x_2=y,x_3=z e 1=i ,e 2=j ,e 3=k ,x1=x,x2=y,x3=z； i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec{i},\vec{j},\vec{k} i ,j ,k 或 e ⃗ 1 , e ⃗ 2 , e ⃗ 3 \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 e 1,e 2,e 3称为沿着直角坐标(系)的单位基向量或单位基矢量，简称单位向量或单位矢量。
∇ \nabla ∇既是一个微分算子，又可以看作一个向量，具有向量和微分的双重性质，故它称为向量微分算子或矢量微分算子。于是，梯度可表示为：
g r a d φ = ∇ φ = G ⃗ = ∂ φ ∂ x i ⃗ + ∂ φ ∂ y j ⃗ + ∂ φ ∂ z k ⃗ \mathrm{grad}\varphi =\nabla \varphi =\vec{G}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\vec{k} gradφ=∇φ=G =∂x∂φi +∂y∂φj +∂z∂φk
可见：一个标量函数 φ \varphi φ的梯度是一个向量函数。
梯度的模为：
∣ g r a d φ ∣ = ∣ ∇ φ ∣ = ∣ G ⃗ ∣ = ( ∂ φ ∂ x ) 2 + ( ∂ φ ∂ y ) 2 + ( ∂ φ ∂ z ) 2 \left| \mathrm{grad}\varphi \right|=\left| \nabla \varphi \right|=\left| \vec{G} \right|=\sqrt{\left( \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right) ^2+\left( \frac{\partial \varphi}{\partial y} \right) ^2+\left( \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) ^2} ∣gradφ∣=∣∇φ∣= G =(∂x∂φ)2+(∂y∂φ)2+(∂z∂φ)2
进一步可知：
∇ f ( n ) ( r ) = f ( n + 1 ) ( r ) ∇ r ∂ φ ∂ L = g r a d φ ⋅ L ⃗ 0 = ∇ φ ⋅ L ⃗ 0 \nabla f^{\left( n \right)}\left( r \right) =f^{\left( n+1 \right)}\left( r \right) \nabla r \\ \frac{\partial \varphi}{\partial L}=\mathrm{grad}\varphi \cdot \vec{L}_0=\nabla \varphi \cdot \vec{L}_0 ∇f(n)(r)=f(n+1)(r)∇r∂L∂φ=gradφ⋅L 0=∇φ⋅L 0
上式表明，函数 φ \varphi φ沿 L L L方向的导数等于φ的梯度与L方向的单位向量 L ⃗ 0 \vec{L}_0 L 0的数量积。
若函数 φ ( x , y , z ) = C \varphi \left( x,y,z \right) =C φ(x,y,z)=C,则该式称为等值面方程，它表示一族曲面，与常数 C C C对应的每个值都表示一个曲面。在每个曲面上的各点，虽然坐标值不同，但函数值却相等，这些曲面称为函数 φ \varphi φ的等值面。同理，若函数 ψ ( x , y ) = C \psi \left( x,y \right) =C ψ(x,y)=C,则该式称为等值线方程，它表示一族曲线，与常数 C C C对应的每个值都表示一条曲线，这些曲线称为函数 ψ \psi ψ的等值线。因为函数 φ \varphi φ沿其等值面保持不变，所以当向量 L ⃗ 0 \vec{L}_0 L 0在函数 φ \varphi φ的等值面上时，或者说向量 L ⃗ 0 \vec{L}_0 L 0是等值面的切线时，有：
∂ φ ∂ L = g r a d φ ⋅ L ⃗ 0 = 0 \frac{\partial \varphi}{\partial L}=\mathrm{grad}\varphi \cdot \vec{L}_0=0 ∂L∂φ=gradφ⋅L 0=0
即在切线方向上函数 φ \varphi φ的方向导数为零，这表明梯度向量 g r a d φ \mathrm{grad}\varphi gradφ与等值面的法线重合。由于函数 φ \varphi φ沿着梯度向量的方向增加得最快，故可知梯度向量指向函数 φ \varphi φ增加的方向，即函数 φ \varphi φ的等值面的法线方向，用 N ⃗ \vec{N} N 表示法线方向。法线方向上的单位向量称为单位法线向量或单位法向量，通常用 n ⃗ \vec{n} n 来表示单位法向量。因为任意一个向量都可以表示为该向量的模乘以与该向量方向相同的单位向量，所以,函数 φ \varphi φ的等值面的单位法向量 n ⃗ \vec{n} n 可表示为：
n ⃗ = G ⃗ ∣ G ⃗ ∣ = g r a d φ ∣ g r a d φ ∣ = ∇ φ ∣ ∇ φ ∣ \vec{n}=\frac{\vec{G}}{\left| \vec{G} \right|}=\frac{\mathrm{grad}\varphi}{\left| \mathrm{grad}\varphi \right|}=\frac{\nabla \varphi}{\left| \nabla \varphi \right|} n = G G =∣gradφ∣gradφ=∣∇φ∣∇φ
函数 φ \varphi φ的等值面的单位法向量 n ⃗ \vec{n} n 还可表示为：
n ⃗ = cos ( N ⃗ , i ⃗ ) i ⃗ + cos ( N ⃗ , j ⃗ ) j ⃗ + + cos ( N ⃗ , k ⃗ ) k ⃗ = cos α i ⃗ + cos β j ⃗ + cos γ k ⃗ = l i ⃗ + m j ⃗ + n k ⃗ e ⃗ 1 , e ⃗ 2 , e ⃗ 3 = n x i ⃗ + n y j ⃗ + n z k ⃗ = n x e ⃗ 1 + n y , e ⃗ 2 + n z e ⃗ 3 \vec{n}=\cos \left( \vec{N},\vec{i} \right) \vec{i}+\cos \left( \vec{N},\vec{j} \right) \vec{j}++\cos \left( \vec{N},\vec{k} \right) \vec{k} \\ =\cos \alpha \vec{i}+\cos \beta \vec{j}+\cos \gamma \vec{k}=l\vec{i}+m\vec{j}+n\vec{k}\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 \\ =n_x\vec{i}+n_{\mathrm{y}}\vec{j}+n_{\mathrm{z}}\vec{k}=n_x\vec{e}_1+n_{\mathrm{y}},\vec{e}_2+n_{\mathrm{z}}\vec{e}_3 n =cos(N ,i )i +cos(N ,j )j ++cos(N ,k )k =cosαi +cosβj +cosγk =li +mj +nk e 1,e 2,e 3=nxi +nyj +nzk =nxe 1+ny,e 2+nze 3
式中： α , β , γ \alpha ,\beta ,\gamma α,β,γ为 φ \varphi φ的等值面的法向向量与三个坐标轴的夹角—— l = n 1 = n x = cos α 、 m = n 2 = n y = cos β 、 n = n 3 = n z = cos γ l=n_1=n_x=\cos \alpha \text{、}m=n_2=n_y=\cos \beta \text{、}n=n_3=n_z=\cos \gamma l=n1=nx=cosα、m=n2=ny=cosβ、n=n3=nz=cosγ分别为单位法向量 n ⃗ \vec{n} n 的三个方向余弦；
单位法向量 n ⃗ \vec{n} n 的模可表示为： ∣ n ⃗ ∣ = cos 2 ( N ⃗ , x ) + cos 2 ( N ⃗ , y ) + cos 2 ( N ⃗ , z ) \left| \vec{n} \right|=\sqrt{\cos ^2\left( \vec{N},x \right) +\cos ^2\left( \vec{N},y \right) +\cos ^2\left( \vec{N},z \right)} ∣n ∣=cos2(N ,x)+cos2(N ,y)+cos2(N ,z)
如果用不用的形式来表示，则函数 φ \varphi φ沿 N ⃗ \vec{N} N 方向的导数可写成下面诸形式：
∂ φ ∂ N ⃗ = G ⃗ ⋅ n ⃗ = ∣ G ⃗ ∣ cos ( G ⃗ , n ⃗ ) = ∣ G ⃗ ∣ = g r a d φ ⋅ n ⃗ = ∇ φ ⋅ n ⃗ = ∣ g r a d φ ∣ n ⃗ ⋅ n ⃗ = g r a d φ ⋅ g r a d φ ∣ g r a d φ ∣ = ∇ φ ⋅ ∇ φ ∣ ∇ φ ∣ = ∣ g r a d φ ∣ = ∇ φ \frac{\partial \varphi}{\partial \vec{N}}=\vec{G}\cdot \vec{n}=\left| \vec{G} \right|\cos \left( \vec{G},\vec{n} \right) =\left| \vec{G} \right|=\mathrm{grad}\varphi \cdot \vec{n}=\nabla \varphi \cdot \vec{n} \\ =\left| \mathrm{grad}\varphi \right|\vec{n}\cdot \vec{n}=\frac{\mathrm{grad}\varphi \cdot \mathrm{grad}\varphi}{\left| \mathrm{grad}\varphi \right|}=\frac{\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi}{\left| \nabla \varphi \right|}=\left| \mathrm{grad}\varphi \right|=\nabla \varphi ∂N ∂φ=G ⋅n = G cos(G ,n )= G =gradφ⋅n =∇φ⋅n =∣gradφ∣n ⋅n =∣gradφ∣gradφ⋅gradφ=∣∇φ∣∇φ⋅∇φ=∣gradφ∣=∇φ
函数 φ \varphi φ沿梯度方向的方向导数恒大于等于零，即梯度总是指向函数 φ \varphi φ增大的方向。显然有 cos ( G ⃗ , n ⃗ ) = cos 0 = 1 \cos \left( \vec{G},\vec{n} \right) =\cos 0=1 cos(G ,n )=cos0=1,即 φ \varphi φ的梯度方向与 φ \varphi φ的等值面的法向方向相同。在直角坐标系中，函数 φ \varphi φ沿 N ⃗ \vec{N} N 方向的方向导数还可写成如下形式：
∂ φ ∂ N ⃗ = ∇ φ ⋅ n ⃗ = ∂ φ ∂ x n x + ∂ φ ∂ y n y + ∂ φ ∂ z n z = ∣ ∇ φ ∣ = ( ∂ φ ∂ x ) 2 + ( ∂ φ ∂ y ) 2 + ( ∂ φ ∂ z ) 2 \frac{\partial \varphi}{\partial \vec{N}}=\nabla \varphi \cdot \vec{n}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}n_{\mathrm{x}}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}n_{\mathrm{y}}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}n_{\mathrm{z}}=\left| \nabla \varphi \right|=\sqrt{\left( \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right) ^2+\left( \frac{\partial \varphi}{\partial y} \right) ^2+\left( \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) ^2} ∂N ∂φ=∇φ⋅n =∂x∂φnx+∂y∂φny+∂z∂φnz=∣∇φ∣=(∂x∂φ)2+(∂y∂φ)2+(∂z∂φ)2
进而可得： g r a d φ = ∇ φ = ∂ φ ∂ N ⃗ n ⃗ \mathrm{grad}\varphi =\nabla \varphi =\frac{\partial \varphi}{\partial \vec{N}}\vec{n} gradφ=∇φ=∂N ∂φn ，且有： ∂ ∂ N ⃗ = n ⃗ ⋅ ∇ = l ∂ ∂ x + m ∂ ∂ y + n ∂ ∂ z = n x ∂ ∂ x + n y ∂ ∂ y + n z ∂ ∂ z \frac{\partial}{\partial \vec{N}}=\vec{n}\cdot \nabla =l\frac{\partial}{\partial x}+m\frac{\partial}{\partial y}+n\frac{\partial}{\partial z}=n_{\mathrm{x}}\frac{\partial}{\partial x}+n_{\mathrm{y}}\frac{\partial}{\partial y}+n_{\mathrm{z}}\frac{\partial}{\partial z} ∂N ∂=n ⋅∇=l∂x∂+m∂y∂+n∂z∂=nx∂x∂+ny∂y∂+nz∂z∂
其中： ∂ ∂ N ⃗ \frac{\partial}{\partial \vec{N}} ∂N ∂称为微分算子
- 把数量场中每一点的梯度与该数量场中的各点对应起来，就得到一个向量场，这个向量场称为由该数量场产生的梯度场。