计算机算法分析与设计（15）---贪心算法(虚拟汽车加油问题和最优分解问题)

文章目录

• 一、虚拟汽车加油问题
• 二、最优分解问题

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一、虚拟汽车加油问题

1.1 问题描述

 一辆虚拟汽车加满油后可行驶 n n n km。旅途中有若干加油站。设计一个有效算法，指出应在哪些加油站停靠加油，使沿途加油次数最少，计算最少加油次数。

1.2 思路分析

 贪心策略：只要；否则在当前加油站加满油再出发。

1.3 代码编写

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int main(){
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	
	int a[k+1];
	for(int i=0; i<k+1; i++){
		cin>>a[i];
	}
		
	bool f=0;
	int sum=0,gas=n; //gas表示当前的油还可以走多少km
	for(int i=0; i<k+1; i++)
	{
		if(n<a[i])//出现两个加油站之间距离大于n则肯定到达不了目的地 
		{
			f=1;
		}
		if(gas<a[i])//当前的油不够行驶 
		{
			sum++; 
			gas=n;
		}
		gas=gas-a[i];
	}
	
	if(f)
	{
		cout<<"No Solution\n";
	}
	else
	{
		cout<<"最少加油次数："<<sum<<endl;
	}
	return 0;
}

二、最优分解问题

2.1 问题描述

 设 n n n 是一个正整数。现在要求将 n n n 分解为若干互不相同的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大。

2.2 思路分析

 1. 。

 2. 分析： n n n 为整数相加之和，常数不变。 （ a + b ) 2 = ( a − b ) 2 + 4 a b = n 2 — > a b = ( n 2 − ( a − b ) 2 ) / 4 （a+b)^2 = (a-b)^2 +4ab =n^2 —> ab=(n^2 -(a-b)^2)/4 （a+b)2=(a−b)2+4ab=n2—>ab=(n2−(a−b)2)/4；所以若 a + b = 常数 a+b=常数 a+b=常数，则 a − b a-b a−b 的绝对值越小， a b ab ab 值越大。

 3. 思路：因为要使乘积最大，所以要尽量分解为相似大小的数。分解时，因数从 2 2 2 开始，每次加 1 1 1， n = n − a [ i ] n=n-a[i] n=n−a[i]，保证剩下的数比下一次的数大。
 所以最优分解为从 2 2 2 开始连续的自然数最好，最终分解剩余了一个余数，从分解的最后项依次加 1 1 1 即可（这样乘积中大的数会更大，总的乘积会更大）。

 4. 例如：分解 13 13 13 分解为 2 、 3 、 4 2、3、4 2、3、4，还剩下 4 4 4，不够继续分解的下一个数 5 5 5，就把 4 4 4 依次分配给前面的因子，分配顺序是 4 = > 3 = > 2 4 => 3 => 2 4=>3=>2。所以最终结果为 3 、 4 、 6 3、4、6 3、4、6，这就是最大乘积的因子。（分配顺序为从大到小，如果还剩下，就继续分配，直到分完变为 0 0 0 为止）。

2.3 代码编写

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int a[100];
    int n,i=1,j;
    int sum=1;     
    cin>>n;
    
    a[0]=2;
    n=n-a[0];
    while(n>a[i-1]) //a[i-1]=2
    {
        a[i]=a[i-1]+1; //第二个因子是3，往后依次...... 
        n=n-a[i];
        i++;
    }
 
    while(n>0) //余数依次减1，加在已分配好的因子上
    {
        for(j=0;j<i;j++)
        {
            a[i-j-1]++; //从最大的数开始加1
            n--;        //余数减1 
            if(n==0)    //若n不等于0，继续执行下一轮分配 
            {
			    break;
			}  
        }
    }
 
    j=0;
    while(j<i) //求最终的乘积
    {
        sum=sum*a[j];
        j++;
    }
    cout<<sum;
    return 0;
}