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一、无重复数字排列
1.1 题目描述
把 1 ∼ n 1∼n 1∼n 这 n n n 个整数排成一行后随机打乱顺序，输出所有可能的次序。
1.2 用dfs方法
1.2.1 思路分析
1. 这个问题其实就是求无重复元素的全排列，经典的 d f s dfs dfs 题。 d f s dfs dfs 最重要的是搜索顺序，用什么顺序遍历所有方案。对于全排列问题，以 n = 3 n = 3 n=3 为例，可以这样进行搜索：
假设有 3 个空位，从前往后填数字，每次填一个位置，填的数字不能和前面一样。
最开始的时候，三个空位都是空的：__ __ __
首先填写第一个空位，第一个空位可以填 1，填写后为：1 __ __
填好第一个空位，填第二个空位，第二个空位可以填 2，填写后为：1 2 __
填好第二个空位，填第三个空位，第三个空位可以填 3，填写后为： 1 2 3
这时候，空位填完，无法继续填数，所以这是一种方案，输出。
然后往后退一步，退到了状态：1 2 __ 。剩余第三个空位没有填数。第三个空位上除了填过的 3 ，没有其他数字可以填。
因此再往后退一步，退到了状态：1 __ __。第二个空位上除了填过的 2，还可以填 3。第二个空位上填写 3，填写后为：1 3 __
填好第二个空位，填第三个空位，第三个空位可以填 2，填写后为： 1 3 2
这时候，空位填完，无法继续填数，所以这是一种方案，输出。
然后往后退一步，退到了状态：1 3 __ 。剩余第三个空位没有填数。第三个空位上除了填过的 2，没有其他数字可以填。
因此再往后退一步，退到了状态：1 __ __。第二个空位上除了填过的 2，3，没有其他数字可以填。
因此再往后退一步，退到了状态：__ __ __。第一个空位上除了填过的 1，还可以填 2。第一个空位上填写 2，填写后为：2 __ __
填好第一个空位，填第二个空位，第二个空位可以填 1，填写后为：2 1 __
填好第二个空位，填第三个空位，第三个空位可以填 3，填写后为：2 1 3
这时候，空位填完，无法继续填数，所以这是一种方案，输出。
然后往后退一步，退到了状态：2 1 __ 。剩余第三个空位没有填数。第三个空位上除了填过的 3，没有其他数字可以填。
因此再往后退一步，退到了状态：2 __ __。第二个空位上除了填过的 1，还可以填 3。第二个空位上填写 3，填写后为：2 3 __
填好第二个空位，填第三个空位，第三个空位可以填 1，填写后为：2 3 1
这时候，空位填完，无法继续填数，所以这是一种方案，输出。
然后往后退一步，退到了状态：2 3 __ 。剩余第三个空位没有填数。第三个空位上除了填过的 1，没有其他数字可以填。
因此再往后退一步，退到了状态：2 __ __。第二个空位上除了填过的 1，3，没有其他数字可以填。
因此再往后退一步，退到了状态：__ __ __。第一个空位上除了填过的 1，2，还可以填 3。第一个空位上填写 3，填写后为：3 __ __
填好第一个空位，填第二个空位，第二个空位可以填 1，填写后为：3 1 __
填好第二个空位，填第三个空位，第三个空位可以填 2，填写后为：3 1 2
这时候，空位填完，无法继续填数，所以这是一种方案，输出。
然后往后退一步，退到了状态：3 1 __ 。剩余第三个空位没有填数。第三个空位上除了填过的 2，没有其他数字可以填。
因此再往后退一步，退到了状态：3 __ __。第二个空位上除了填过的 1，还可以填 2。第二个空位上填写 2，填写后为：3 2 __
填好第二个空位，填第三个空位，第三个空位可以填 1，填写后为：3 2 1
这时候，空位填完，无法继续填数，所以这是一种方案，输出。
然后往后退一步，退到了状态：3 2 __ 。剩余第三个空位没有填数。第三个空位上除了填过的 1，2，没有其他数字可以填。
因此再往后退一步，退到了状态：3 __ __。第二个空位上除了填过的 1，2，没有其他数字可以填。
因此再往后退一步，退到了状态：__ __ __。第一个空位上除了填过的 1，2，3，没有其他数字可以填。
此时深度优先搜索结束，输出了所有的方案。
1.2.2 代码编写
用 p a t h path path 数组保存排列，当排列的长度为 n n n 时，是一种方案，输出。
用 s t a t e state state 数组表示数字是否用过。当 s t a t e [ i ] state[i] state[i] 为 1 1 1 时： i i i 已经被用过， s t a t e [ i ] state[i] state[i] 为 0 0 0 时， i i i 没有被用过。
d f s ( i ) dfs(i) dfs(i) 表示的含义是：在 p a t h [ i ] path[i] path[i] 处填写数字，然后递归的在下一个位置填写数字。
回溯：第 i i i 个位置填写某个数字的所有情况都遍历后， 第 i i i 个位置填写下一个数字。
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 10;
int path[N]; //保存序列
int state[N]; //数字是否被用过
int n;
void dfs(int u)
{
if(u > n)//数字填完了，输出
{
for(int i = 1; i <= n; i++) //输出方案
cout << path[i] << " ";
cout << endl;
}
for(int i = 1; i <= n; i++) //空位上可以选择的数字为:1 ~ n
{
if(!state[i]) //如果数字 i 没有被用过
{
path[u] = i; //放入空位
state[i] = 1;//数字被用，修改状态
dfs(u + 1); //填下一个位
state[i] = 0;//回溯，取出 i
}
}
}
int main()
{
cin >> n;
dfs(1);
return 0;
}
1.3 用交换法
交换法思想就是定下一个前缀，然后将后面的数全排列。
#include<iostream>
using namespace std;
int n;
//int cnt = 0; cnt用来计数的
void Permutation(int *s,int p) //从数组s的第p个位置开始全排列
{
if(p==n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
cout<<s[i];
}
cout<<endl;
//可计数有多少种排序cnt++;
}
for(int i=p;i<n;i++)
{
swap(s[i],s[p]); //每个字符都有成为当前起始字符的机会
Permutation(s,p+1);
swap(s[i],s[p]); //返回初始状态，才能保证后面的交换是正确的，回溯
}
}
int main()
{
cin>>n;
int s[n];
for(int i=0;i<n;i++)
{
s[i]=i+1;
}
Permutation(s,0);
//cout <<cnt << endl; 可输出有多少中排序
return 0;
}
1.4 STL秒解
1.4.1 所用函数
1. next_permutation的功能是生成给定序列的下一个字典序排列。这个函数在C++ STL中，对于解决排列组合问题和迭代遍历所有可能排列时非常有用。
2. prev_permutation的功能是生成给定序列的前一个字典序排列。这个函数在C++ STL中，可以用于迭代遍历所有可能的排列，与next_permutation相反，它是从大到小的顺序生成排列。
1.4.2 代码编写
#include <iostream>
#include<algorithm> //头文件
using namespace std;
int main()
{
int n;
cin>>n;
int s[n];
for(int i=0;i<n;i++)
{
s[i]=i+1;
}
//int cnt = 0;
do
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
cout<<s[i];
}
cout<<endl;
}while(next_permutation(s,s+n));//起始位置，左闭右开
//cout<<"总共有："<<cnt<<" 种排列"<<endl;
return 0;
}
二、有重复数字排列
2.1 思路分析
1. 看到这个题目首先能想到的一点就是：(1) 我们要求元素的所有全排列。(2) 我们要对求出的全排列去重。
2. 求全排列用交换递归；去重我们可以设计一个函数来判断这个元素是否前面已经用到过了。
2.2 代码编写
#include <iostream>
using namespace std;
int count=0;
void swap(char &a,char &b)
{
char temp;
temp=a;
a=b;
b=temp;
}
int finish(char list[],int k,int i)
{ //第i个元素是否在前面元素[k...i-1]中出现过
if(i>k)
{
for(int j=k;j<i;j++)
if(list[j]==list[i])
return 0;
}
return 1;
}
void perm(char list[],int k,int m)
{
if(k==m) //当只剩下一个元素时则输出
{
count++;
for(int i=0;i<=m;i++)
cout<<list[i];
cout<<endl;
}
for(int i=k;i<=m;i++) //还有多个元素待排列，递归产生排列
{
if(finish(list,k,i))
{
swap(list[k],list[i]);
perm(list,k+1,m);
swap(list[k],list[i]);
}
}
}
int main()
{
int i,n;
cout<<"请输入元素个数: "<<endl;
cin>>n;
cout<<"请输入待排列的元素: "<<endl;
//getchar();
char *a=new char[n];
for(i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
cout<<"所有不同排列为: "<<endl;
perm(a,0,n-1);
cout<<"排列总数为： "<<count<<endl;
return 0;
}