前言
假如面试官让你编写求斐波那契数列的代码时，是不是心中暗喜?不就是递归么，早就会了。如果真这么想，那就危险了。
递归求斐波那契数列
递归，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法。
斐波那契数列的计算表达式很简单：
1F(n) = n; n = 0,1
2F(n) = F(n-1) + F(n-2),n >= 2;
因此，我们能很快根据表达式写出递归版的代码：
1/*fibo.c*/
2#include <stdio.h>
3#include <stdlib.h>
4/*求斐波那契数列递归版*/
5unsigned long fibo(unsigned long int n)
6{
7 if(n <= 1)
8 return n;
9 else
10 return fibo(n-1) + fibo(n-2);
11}
12int main(int argc,char *argv[])
13{
14 if(1 >= argc)
15 {
16 printf("usage:./fibo num\n");
17 return -1;
18 }
19 unsigned long n = atoi(argv[1]);
20 unsigned long fiboNum = fibo(n);
21 printf("the %lu result is %lu\n",n,fiboNum);
22 return 0;
23}
关键代码为3~9行。简洁明了，一气呵成。
编译：
1gcc -o fibo fibo.c
运行计算第5个斐波那契数：
1$ time ./fibo 5
2the 5 result is 5
3
4real 0m0.001s
5user 0m0.001s
6sys 0m0.000s
看起来并没有什么不妥，运行时间也很短。
继续计算第50个斐波那契数列：
1$ time ./fibo 50
2the 50 result is 12586269025
3
4real 1m41.655s
5user 1m41.524s
6sys 0m0.076s
计算第50个斐波那契数的时候，竟然花了一分多钟！
递归分析
为什么计算第50个的时候竟然需要1分多钟。我们仔细分析我们的递归算法，就会发现问题，当我们计算fibo(5)的时候，是下面这样的：
1 |--F(1)
2 |--F(2)|
3 |--F(3)| |--F(0)
4 | |
5 |--F(4)| |--F(1)
6 | |
7 | | |--F(1)
8 | |--F(2)|
9 | |--F(0)
10F(5)|
11 | |--F(1)
12 | |--F(2)|
13 | | |--F(0)
14 |--F(3)|
15 |
16 |--F(1)
为了计算fibo(5)，需要计算fibo(3)，fibo(4)；而为了计算fibo(4)，需要计算fibo(2)，fibo(3)……最终为了得到fibo(5)的结果，fibo(0)被计算了3次，fibo(1)被计算了5次，fibo(2)被计算了2次。可以看到，它的计算次数几乎是指数级的！
因此，虽然递归算法简洁，但是在这个问题中，它的时间复杂度却是难以接受的。除此之外，递归函数调用的越来越深，它们在不断入栈却迟迟不出栈，空间需求越来越大，虽然访问速度高，但大小是有限的，最终可能导致栈溢出。
在linux中，我们可以通过下面的命令查看栈空间的软限制：
1$ ulimit -s
28192
可以看到，默认栈空间大小只有8M。一般来说，8M的栈空间对于一般程序完全足够。如果8M的栈空间不够使用，那么就需要重新审视你的代码设计了。
迭代解法
既然递归法不够优雅，我们换一种方法。如果不用计算机计算，让你去算第n个斐波那契数，你会怎么做呢？我想最简单直接的方法应该是：知道第一个和第二个后，计算第三个；知道第二个和第三个后，计算第四个，以此类推。最终可以得到我们需要的结果。这种思路，没有冗余的计算。基于这个思路，我们的C语言实现如下：
1/*fibo1.c*/
2#include <stdio.h>
3#include <stdlib.h>
4/*求斐波那契数列迭代版*/
5unsigned long fibo(unsigned long n)
6{
7 unsigned long preVal = 1;
8 unsigned long prePreVal = 0;
9 if(n <= 2)
10 return n;
11 unsigned long loop = 1;
12 unsigned long returnVal = 0;
13 while(loop < n)
14 {
15 returnVal = preVal +prePreVal;
16 /*更新记录结果*/
17 prePreVal = preVal;
18 preVal = returnVal;
19 loop++;
20 }
21 return returnVal;
22}
23/**main函数部分与fibo.c相同，这里省略*/
编译并计算第50个斐波那契数：
1$ gcc -o fibo1 fibo1.c
2$ time ./fibo1 50
3the 50 result is 12586269025
4
5real 0m0.002s
6user 0m0.001s
7sys 0m0.002s
可以看到，计算第50个斐波那契数只需要0.002s！时间复杂度为O(n)。
尾递归解法
同样的思路，但是采用尾递归的方法来计算。要计算第n个斐波那契数，我们可以先计算第一个，第二个，如果未达到n，则继续递归计算，尾递归C语言实现如下：
1/*fibo2.c*/
2#include <stdio.h>
3#include <stdlib.h>
4/*求斐波那契数列尾递归版*/
5unsigned long fiboProcess(unsigned long n,unsigned long prePreVal,unsigned long preVal,unsigned long begin)
6{
7 /*如果已经计算到我们需要计算的，则返回*/
8 if(n == begin)
9 return preVal+prePreVal;
10 else
11 {
12 begin++;
13 return fiboProcess(n,preVal,prePreVal+preVal,begin);
14 }
15}
16
17unsigned long fibo(unsigned long n)
18{
19 if(n <= 1)
20 return n;
21 else
22 return fiboProcess(n,0,1,2);
23}
24
25/**main函数部分与fibo.c相同，这里省略*/
效率如何呢？
1$ gcc -o fibo2 fibo2.c
2$ time ./fibo2 50
3the 50 result is 12586269025
4
5real 0m0.002s
6user 0m0.001s
7sys 0m0.002s
可见，其效率并不逊于迭代法。尾递归在函数返回之前的最后一个操作仍然是递归调用。尾递归的好处是，进入下一个函数之前，已经获得了当前函数的结果，因此不需要保留当前函数的环境，内存占用自然也是比最开始提到的递归要小。时间复杂度为O(n)。
递归改进版
既然我们知道最初版本的递归存在大量的重复计算，那么我们完全可以考虑将已经计算的值保存起来，从而避免重复计算，该版本代码实现如下：
1/*fibo3.c*/
2#include <stdio.h>
3#include <stdlib.h>
4/*求斐波那契数列，避免重复计算版本*/
5unsigned long fiboProcess(unsigned long *array,unsigned long n)
6{
7 if(n < 2)
8 return n;
9 else
10 {
11 /*递归保存值*/
12 array[n] = fiboProcess(array,n-1) + array[n-2];
13 return array[n];
14 }
15}
16
17unsigned long fibo(unsigned long n)
18{
19 if(n <= 1)
20 return n;
21 unsigned long ret = 0;
22 /*申请数组用于保存已经计算过的内容*/
23 unsigned long *array = (unsigned long*)calloc(n+1,sizeof(unsigned long));
24 if(NULL == array)
25 {
26 return -1;
27 }
28 array[1] = 1;
29 ret = fiboProcess(array,n);
30 free(array);
31 array = NULL;
32 return ret;
33}
34/**main函数部分与fibo.c相同，这里省略*/
效率如何呢？
1$ gcc -o fibo3 fibo3.c
2$ time ./fibo3 50
3the 50 result is 12586269025
4
5real 0m0.002s
6user 0m0.002s
7sys 0m0.001s
可见效率是不逊于其他两种优化算法的。但是特别注意的是，这种改进版的递归，虽然避免了重复计算，但是调用链仍然比较长。
其他解法
其他两种时间复杂度为O(logn)的矩阵解法以及O(1)的通项表达式解法本文不介绍。欢迎留言补充。
总结
总结一下递归的优缺点：
优点：
- 实现简单
- 可读性好
缺点：
- 递归调用，占用空间大
- 递归太深，易发生栈溢出
- 可能存在重复计算
可以看到，对于求斐波那契数列的问题，使用一般的递归并不是一种很好的解法。
所以，当你使用递归方式实现一个功能之前，考虑一下使用递归带来的好处是否抵得上它的代价。