作者：韩信子@ShowMeAI
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1.概率论及在AI中的使用
概率（Probability），反映随机事件出现的可能性大小。事件\( A \)出现的概率，用\( P(A) \)表示。
概率论（Probability Theory），是研究随机现象数量规律的数学分支，度量事物的不确定性。
机器学习大部分时候处理的都是不确定量或随机量。因此，相对计算机科学的其他许多分支而言，机器学习会更多地使用概率论。很多典型的机器学习算法模型也是基于概率的，比如朴素贝叶斯（Naive Bayesian）等。
2.随机变量（Random Variable）
简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现，是可以『随机』地取不同值的『变量』。通常，用大写字母来表示随机变量本身，而用带数字下标的小写字母来表示随机变量能够取到的值。
- 例如，\( X \)为随机变量，\( x_{1} \)、\( x_{2} \)、\( x_{i} \)是随机变量\( X \)可能的取值。
随机变量可以分为『离散型随机变量』和『连续型随机变量』：
- 离散型随机变量（discrete random variable）：即在一定区间内变量取值为有限个（或可数个）。例如，某地区某年的出生人口数。
- 连续型随机变量（continuous random variable）：即在一定区间内变量取值为无限个（或数值无法一一列举出来）。例如，某地区男性健康成人的体重值。
3.随机向量（Random Vector）
将几个随机变量按顺序放在一起，组成向量的形式，就是随机向量。
在样本空间全部都一样的情况下，一个\( n \)维的随机向量是
$$ x \overrightarrow{(\xi)}=\left(\begin{array}{c}x_{1}(\xi) \\x_{2}(\xi) \\\cdots \\x_{n}(\xi)\end{array}\right)$$
其中，\( \xi \)就是样本空间中的样本点。随机变量是１维随机向量的特殊情况。
4.概率分布（Probability Distribution）
广义上，概率分布用于表述随机变量取值的概率规律。或者说，给定某随机变量的取值范围，概率分布表示该随机事件出现的可能性。
狭义地，概率分布指随机变量地概率分布函数，也称累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）。
离散型随机变量的概率分布：
- 使用分布列描述离散型随机变量的概率分布，即给出离散型随机变量的全部取值及每个值的概率。
- 常见的离散型随机变量的分布有：单点分布、0-1分布、几何分布、二项分布、泊松分布等。
连续型随机变量的概率分布：
如果随机变量\( X \)的分布函数为\( F(x) \)，存在非负函数\( f (x) \)使对于任意实数\( x \)有\( F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t \)，则称\( X \)为连续型随机变量 ，其中函数\( f(x) \)称为\( X \)的概率密度函数。
常见的连续型随机变量的分布有：正态分布、均匀分布、指数分布、\( t- \)分布、\( F- \)分布、\( \xi^{2}- \)分布等。
5.条件概率（Conditional Probability）
很多情况下我们感兴趣的是，某个事件在给定其它事件发生时出现的概率，这种概率叫条件概率。
给定\( A \)时\( B \)发生的概率记为\( P(B \mid A) \)，概率的计算公式为：\( P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)} \)
6.贝叶斯公式（Bayes’ Theorem）
先看看什么是“先验概率”和“后验概率”，以一个例子来说明：
贝叶斯公式：贝叶斯提供了一种利用『先验概率』计算『后验概率』的方法：
- 条件概率公式：\( P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)} \)，\( P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)} \)
- 由条件概率公式变换得到乘法公式：\( P(A B)=P(B \mid A) P(A)=P(A \mid B) P(B) \)
- 将条件概率公式和乘法公式结合：\( P(B \mid A)=\frac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A)} \)
- 引入全概率公式：\( P(A)=\sum_{i=1}^{N} P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right) \)
- 将全概率代入\( P(B \mid A) \)，可以得到贝叶斯公式：\( P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{N} P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right)} \)
上述例子的计算结果：
$$\begin{aligned}P(\text { 患病 } \mid \text { 显示阳性 }) &=\frac{P(\text { 显示阳性|患病 }) P(\text { 患病 })}{P(\text { 显示阳性 })} \\&=\frac{P(\text { 显示阳性|患病 }) P(\text { 患病 })}{P(\text { 显示阳性|患病 }) P(\text { 患病 })+P(\text { 显示阳性|无病) } P(\text { 无病 })} \\&=\frac{95 \% * 0.1 \%}{95 \% * 0.1 \%+5 \% * 99.9 \%}=1.86 \%\end{aligned}$$
贝叶斯公式贯穿了机器学习中随机问题分析的全过程。从文本分类到概率图模型，其基本分类都是贝叶斯公式。
7.期望（Expectation）
在概率论和统计学中，数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。期望是最基本的数学特征之一，反映随机变量平均值的大小。
假设\( X \)是一个离散型随机变量，其可能的取值有
$$\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}$$
各取值对应的概率取值为\( P\left(x_{k}\right) \)，\( k=1, 2, \ldots, n \)。其数学期望被定义为：
$$E(X)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} P\left(x_{k}\right)$$
假设\( x \)是一个连续型随机变量，其概率密度函数为\( f(x) \)，其数学期望被定义为：
$$E(x)=\int_{-\boldsymbol{\omega}}^{+\boldsymbol{w}} x f(x) d x$$
8.方差（Variance）
在概率论和统计学中，样本方差，是各个样本数据分别与其平均数之差的平方和的平均数。方差用来衡量随机变量与其数学期望之间的偏离程度。
离散型：（\( \mu \)表示期望）
$$D(X)=\sum_{k=1}^{n} \left(x_{k}-\mu\right)^{2}$$
一个快速计算方差的公式（即平方的期望减去期望的平方）：
$$D(X)=E\left\{[X-E(X)]^{2}\right\}=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}$$
连续型：（\( \mu \)表示期望）
$$D(x)=\int(x-\mu)^{2} f(x) dx$$
9.协方差（Covariance）
在概率论和统计学中，协方差被用于衡量两个随机变量\( X \)和\( Y \)之间的总体误差。期望值分别为\( E[X] \)与\( E[Y] \)的两个实随机变量\( X \)与\( Y \)之间的协方差为：
$$Cov(X,Y) =E { [X-E(X)][Y-E(Y)] } =E(XY)-E(X)E(Y)$$
以下是几个常用等式：
\( Cov(X, Y)=Cov(Y, X) \)
\( Cov(X, X)=D(X) \)
\( D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X, Y) \)
\( Cov(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y) \)
10.相关系数（Correlation coefficient）
相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，用以研究变量之间线性相关程度。相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。从协方差中会得到引申，就是关联系数，即：（\( \sigma \)是标准差）
$$\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma _{x} \sigma _{y}}$$
这个公式还有另外的一个表达形式：
$$\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}$$
11.常见分布函数
1）伯努利分布（Bernoulli Distribution）（离散型）
在概率论和统计学中，伯努利分布也叫0-1分布，是单个二值型离散随机变量的分布。
- 概率分布函数：\( P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k} \)
- 期望：\( E(X)=p \)
- 方差：\( D(X)=p(1-p) \)
2）几何分布（Geometric Distribution）（离散型）
在概率论和统计学中，几何分布是离散型概率分布，数学符号为\( X\sim G(p) \)。其定义为：在\( n \)次伯努利试验中，试验\( k \)次才得到第一次成功的机率（即前\( k-1 \)次皆失败，第\( k \)次成功的概率）
- 概率分布函数：\( P(X=k)=(1-p)^{k-1} p \)
- 期望：\( E(X)=\frac{1}{p} \)
- 方差：\( D(X)=\frac{1-p}{p^{2}} \)
3）二项分布（Binomial Distribution）（离散型）
在概率论和统计学中，二项分布即重复\( n \)次伯努利试验，各次试验之间都相互独立，并且每次试验中只有两种可能的结果，而且这两种结果发生与否相互对立，数学符号为\( X∼B(n,p) \)。
如果每次试验时，事件发生的概率为\( p \)，不发生的概率为\( 1-p \)，则\( n \)次重复独立试验中发生\( k \)次的概率为：\( P(X=k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k} \)
- 期望：\( E(X)=n p \)
- 方差：\( D(X)=n p(1-p) \)
4）泊松分布（Poisson Distribution）（离散型）
在概率论和统计学中，泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，用于描述某段时间内事件具体的发生概率，数学符号为\( X∼\pi \left ( \lambda \right ) \)。
泊松分布的参数\( \lambda \)表示单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数，其概率分布函数为：\( P(X=k)=\frac{(\lambda )^{k} e^{-\lambda}}{k !} \)
- 期望：\( E(X)=\lambda \)
- 方差：\( D(X) = \lambda \)
- 没有婴儿出生（\( k=0 \)）的概率为：\( P(X=0)=\frac{(2.5)^{0} \cdot e^{-2.5}}{0 !} \approx 0.082 \)
- 有1个婴儿出生（\( k=1 \)）的概率为：\( P(X=1)=\frac{(2.5)^{1} \cdot e^{-2.5}}{1 !} \approx 0.205 \)
- 有2个婴儿出生（\( k=2 \)）的概率为：\( P(X=2)=\frac{(2.5)^{2} \cdot e^{-2.5}}{2 !} \approx 0.257 \)
| p | 0.082 | 0.205 | 0.257 | ··· |
5）正态分布（Normal Distribution）（连续型）
在概率论和统计学中，正态分布又叫高斯分布（Gaussian Distribution），其曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形。数学符号为\( X∼N\left(\mu, \sigma^{2}\right) \)。
若随机变量\( X \)服从一个数学期望为\( \mu \)、方差为\( \sigma^{2} \)的正态分布，其概率分布函数：\( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} \)
- 期望：\( E(X)=\mu \)
- 方差：\( D(X)=\sigma^{2} \)
6）均匀分布（Uniform Distribution）（连续型）
在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。
均匀分布由两个参数\( a \)和\( b \)定义，数学符号为\( X∼U (a, b) \)（其中，\( a \)为数轴上较小值，\( b \)为数轴上较大值）。
其概率分布函数：\( f(x)=\frac{1}{b-a} , a<x<b \)
- 期望：\( E(X)=\frac{a+b}{2} \)
- 方差：\( D(X) = \frac{(b-a)^{2}}{12} \)
7）指数分布（Exponential Distribution）（连续型）
在概率论和统计学中，指数分布与其他分布的最大不同之处在于，随机变量\( X \)指的是不同独立事件发生的时间间隔值，时间越长事件发生的概率指数型增大(减小)，数学符号为\( X∼E(\lambda) \)。
指数分布的参数\( \lambda \)表示单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数，其概率分布函数为：\( f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x\ge 0 \)
- 期望：\( E(X)=\frac{1}{\lambda} \)
- 方差：\( D(X)=\frac{1}{\lambda^{2}} \)
在我们日常的消费领域，通常的目的是求出在某个时间区间内，会发生随机事件的概率有多大。如：银行窗口服务、交通管理、火车票售票系统、消费市场研究报告中被广泛运用。
- 间隔15分钟（\( X=\frac{1}{4} \)）后才有婴儿出生的概率为：\( f(\frac{1}{4}) = 2.5 e^{-2.5 \cdot \frac{1}{4}} \approx 0.9197 \)
- 间隔30分钟（\( X=\frac{1}{2} \)）后才有婴儿出生的概率为：\( f(\frac{1}{2}) = 2.5 e^{-2.5 \cdot \frac{1}{2}} \approx 0.7163 \)
一些总结：
12.拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）
在求解最优化问题中，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT（Karush Kuhn Tucker）条件是两种最常用的方法。
在机器学习的过程中，我们经常遇到在有限制的情况下，最大化表达式的问题。如：
\( maxf(x,y）s.t. \quad g(x,y)=0 \)
此时我们可以构造\( L(x,y,\lambda )=f(x,y) − \lambda \left ( g(x,y) -c \right ) \)，其中\( \lambda \)称为拉格朗日乘子。接下来要对拉格朗日函数\( L(x,y,\lambda ) \)求导，令其为0，解方程即可。
以下是图文解释：
红色的线是约束。如果没有这条约束，\( f(x,y) \)的最小值应该会落在最小那圈等高线内部的某一点上。现在加上了约束，正好落在这条红线上的点才可能是满足要求的点。也就是说，应该是在\( f(x,y) \)的等高线正好和约束线\( g(x,y) \)相切的位置。
对约束也求梯度\( \nabla g(x,y) \)（如图中红色箭头所示），可以看出要想让目标函数\( f(x,y) \)的等高线和约束相切\( g(x,y) \)，则他们切点的梯度一定在一条直线上。也即在最优化解的时候\( \nabla f(x,y)=λ \nabla g(x,y)-C \)，即\( \nabla [f(x,y)+λ(g(x,y)−c)]=0,λ≠0 \)。
那么拉格朗日函数\( L(x,y,\lambda )=f(x,y) − \lambda \left ( g(x,y) -c \right ) \)在达到极值时与\( f(x,y) \)相等，因为\( F(x,y) \)达到极值时\( g(x,y)−c \)总等于零。
简单的说，\( L(x,y,λ) \)取得最优化解的时候，也就是\( L(x,y,λ) \)取极值的时候。此时\( L(x,y,λ) \)的导数为0，即\( \nabla L(x,y,\lambda )=\nabla \left [ f(x,y) − \lambda \left ( g(x,y) -c \right ) \right ] =0 \)，可以得出\( f(x,y) \)与\( g(x,y) \)梯度共线，此时就是在条件约束\( g(x,y) \)下，\( f(x,y) \)的最优化解。
在支持向量机模型（SVM）的推导中，很关键的一步就是利用拉格朗日对偶性，将原问题转化为对偶问题。
13.最大似然估计（Maximum Likelihood Estimate）
最大概似估计（MLE）是一种粗略的数学期望，指在模型已定、参数\( \theta \)未知的情况下，通过观测数据估计未知参数\( \theta \)的一种思想或方法。
最大似然估计的哲学内涵就是：我们对某个事件发生的概率未知，但我们做了一些实验，有过一些对这个事件的经历(经验)，那么我们认为，这个事件的概率应该是能够与我们做的实验结果最吻合。当然，前提是我们做的实验次数应当足够多。
最大似然函数的求解思想是：给定样本取值后，该样本最有可能来自参数\( \theta \)为何值的总体。即：寻找\( \bar{\theta}_{M LE} \)使得观测到样本数据的可能性最大。
最大似然函数估计值的一般求解步骤是：
写出似然函数
$$L\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right)=\left\{\begin{array}{l}\prod_{i=1}^{n} p\left(x_{i} ; \theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right) \\\prod_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; \theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right)\end{array}\right.$$
- 对似然函数取对数
- 两边同时求导数
- 令导数为0解出似然方程
在机器学习中也会经常见到极大似然的影子。比如后面的逻辑斯特回归模型（LR），其核心就是构造对数损失函数后运用极大似然估计。