通过DFS求解有向图（邻接表存储）中所有简单回路

前言

查阅了网上许多关于通过DFS算法对有向图中所有简单回路的查找，发现有很多关于使用DFS求解有向回路中所有简单回路的帖子，（在按照节点编号情况下）但大多数仅仅寻找了编号递增的回路。又或者未对结果去重。P.S.下述有向图中所有节点均使用数字进行编号，如节点0、节点1 \(\cdots\)

1. 算法描述

本算法基于DFS，思路与传统DFS基本类似，只不过在遍历过程中对所经过的路径通过一个栈进行保存，当找到回路时，检测此条回路是否已经在结果集中出现，若未出现，则将其放入结果集。本过程中比较关键的两步是DFS与结果集去重。

关于DFS。每当从一个新的顶点出发对其进行递归的深度遍历时，我们维护一个新的节点已访问数组visited[]以及一个一维的回路栈loopStack。当访问到节点v时，若v已经被访问，即visited[v]==true时，扫描栈中是节点v是否已经出现过，当节点v已经在栈中出现过，则说明此时出现一条回路，我们将其加入结果集。若节点v未被访问，此时置visited[v]=true并将节点v入栈，并对v的所有邻接点进行访问，重复以上操作。到最深处（即已无邻接点未遍历）进行回溯处理，即将栈顶元素退栈。

关于去重。当需要在结果集中加入新找到的一条回路时，需要对结果集扫描，判断此条回路是否已经出现过。但在一个有向图中很容易发现回路\(0\rightarrow1\rightarrow2\rightarrow3(\rightarrow0)\)与回路\(2\rightarrow3\rightarrow1\rightarrow0(\rightarrow0)\)是两条相同的回路，那么在结果集中我们需要对此类回路进行去重，此处我的具体做法是使用两个指针i、j对将要比较的两条回路同时进行扫描比较，指针i指向第一条回路的起始位置，指针j指向第二条回路中，与指针i指向位置元素相等的位置，记录两个回路中相等的元素个数count，当count==loop.size()时，我们称这两条回路为同一条回路，否则将新回路加入结果集。

算法具体步骤：

从v出发对图进行深度遍历若此节点已访问则转2，否则转3。
若此节点已经在loopStack中出现，表明有回路存在，判断回路是否已经在结果集loopStacks中出现，若没出现过，则放入结果集。
置Visited[v]=true，节点v入栈，对v的邻接顶点继续进行深搜。当搜索完所有邻接顶点，栈顶元素退栈。

2. 算法实现

完整代码在github，请点击这里
DFS部分实现

void DFS(int v) {
    if (visited[v] == 1) {
        int position = FindInVector(loopStack, v);
        if (position >=0) {
            vector<int> loop;
            //将环单独拿出并放入结果集
            for (int i = position; i < loopStack.size(); i++) {
                loop.push_back(loopStack[i]);
            }
            AddLoopStack(loop);
            return;
        }
        return;
    }
    visited[v] = true;
    loopStack.push_back(v);

    for (int j = 0; j < adjMatrixSize; j++) {
        if (adjMatrix[v][j] == 1)
            DFS(j);
    }

    loopStack.pop_back();
}

结果集去重部分

void AddLoopStack(vector<int> loop) {
    bool haveThisLoop = false;
    int count,begin;
    if (loopStacks.size() == 0)
        loopStacks.push_back(loop);
    else {
        for (int i = 0; i < loopStacks.size(); i++) {//遍历结果集中的每一个回路
            count = 0;
            begin = 0;
            if (loop.size() == loopStacks[i].size()) {//若长度相等则进一步比较
                //为方便比较，找到结果集中第i条回路中与loop进行匹配的起点
                for (int k = 0; k < loopStacks[i].size(); k++) {
                    if (loop[0] == loopStacks[i][k])
                        begin = k;
                }
                //j指针从待添加结果集的loop数组的头部开始扫描
                //k指针从上述所找出的与loop数组比较的起点开始扫描
                for (int j =0,k=begin; j < loop.size(); j++, k = (k + 1) % (loopStacks[i].size())) {
                    if (loop[j] == loopStacks[i][k])
                        count++;
                }
                if (count == loop.size()) {
                    //haveThisLoop = true;
                    //break;
                    return;
                }
            }
        }//end else

        loopStacks.push_back(loop);
    }
}

3. 算法复杂度分析

假设存在n个顶点，考虑最坏情况下，有向图为有向完全图，那么可能的回路个数就是\(C_n^2+C_n^3+\cdots+C_n^n=2^n-n-1\)个回路，另外需要对n个顶点均需要DFS，而每条边都需要经过，加上去重的部分，所以时间复杂度为\(O(n^32^n)\)，需要保存所有回路的空间，故空间复杂度为\(O(2^n)\)。

参考资料
严蔚敏数据结构（C语言版）

泰阁尔