002-深度学习数学基础(神经网络、梯度下降、损失函数)

本节目录如下：

• 前言。
• 监督学习与无监督学习。
• 神经网络。
• 损失函数。
• 梯度下降。

0. 前言

接下来就来一句一句的分析这句话：

• 针对特定的任务：

首先我们需要知道的是，人工智能其实就是为了让计算机看起来像人一样智能，为什么这么说呢？举一个人工智能的例子：

这里的图像分类就是我们所说的特定任务，这就是我们希望写出一个人工智能的程序来做的事情。

还有一些其他的常见的任务：人脸识别,目标检测,图像分割,自然语言处理 等等。

• 找出合适的数学表达式：

学过高等数学并且有计算机思维的人都知道，世界中几乎所有的事情都可以用数学函数来表达出来，我们先不管这个数学表达式是离散还是连续，也不管他的次数多高，反正他能达到表示特定任务的一种目的。

比如说，针对一个西瓜质量好坏的预测任务，可以设出以下的表达式：

解释如下：

所以，针对上文提到的特定任务，都可以用数学表达式表示出来，当然，我们会尽可能找简单、高效的表达式。

• 一直优化这个表达式：

上边引出表达式之后，会发现当表达式确定下来之后，就要寻找合适的系数了，寻找系数的过程就被称之为训练网络的过程。

我们优化表达式的重要思想是：一直调整系数值，使得预测出的数据 与 真实数据之间的差距尽可能的最小。

比如：假设预测的数据是 f1(x)​，真实数据是​y，我们通过一直改变系数的值，来找出可以使得预测数据与真实数据之间距离最小的一组，最小的一组数据就是我们需要的系数。

其中，距离计算公式可以是如下的表达式：

通过这个表达式，得到的 loss 值就是真实值与预测值之间的距离。

然后，接下来的优化就是针对这个loss 表达式来进行的，目的就是让loss的值达到最小。

因为loss值达到最小的时候，就意味着我们的预测值与真实值距离很相近，预测越准确。

• 用优化好的表达式预测未来：

经过上边的优化，此时函数会得到一个相对好一点的系数，然后就可以使用这个函数来预测未来的事情了。

这就是达到了人工只能的目的了。

所以，下边我们就要仔细讨论，数学表达式的构建，距离函数的构建，距离的优化。

1. 神经网络

神经网络其实就是变形的数学表达式，它通过拼装基础组件（神经元）来模拟出数学表达式。

1.01. 什么是神经网络

一说神经网络，大家首先想到的就是神经元，其实没错，神经网络这个名词就是从神经元这里演变过来的。所以我们做一下类比。

1.01.001. 神经元

如图所示，这个图就是我们人体的神经元的放大图。

通常我们身体的 A 部位发出的命令，要指挥 B 部位响应，就要通过 A 向 B 发出信号。这个信号的强弱影响着 B 反应的强弱。

所以，这就是神经网络的构思所在：

构建出一个类似于神经元的结构，上一个节点的输入（A处的控制） 以及权重（信号的强弱）共同决定下一个节点的输出（B处的反应）。

1.01.002. 神经网络

如图所示就是一个最简单的神经网络结构，这个结构的数学表达式是：

图中的圆圈我们就把他类比于神经元，图中的各个结构解释如下：

• 其中 X1,X2 就是这个神经网络的输入，他相当于就是人体大脑发出的控制命令。

• W1,W2 就是权重，他是用来控制不同输入信号占比大小的数据，比如：想让控制X1作用明显一点，那么对应的W1就大一点。

• Y 就是输出，他就是输入数据与权重作用之后的最终结果，在神经元中也就是最终对身体某个部位的控制信号。

1.02. 神经网络的数学原理

神经网络的数学原理非常简单，简单总结下来就是一句话：不同的输入作用于各自的权重之后的和即为我们需要的结果。

细心的人观察上边的公式就会发现，一个神经元节点就可以归结于一个运算式子。所以我们这里就来针对上图，分析分析含有一个神经元节点的公式。

从图中可以看得出来，最终的输出结果 Y 是由 输入（X） 以及 权重（W） 共同决定的。

他们最终的计算结果 Y 其实说白了就是一个计算公式：Y = X1*W1 + X2*W2​ ，这个公式的含义大家应该都明白，给不同的输入 分配不同的权重 ，从而得到想要的结果。

这就是神经网络中一个神经元的数学原理，当把神经元的个数增多之后，原理以此类推，只不过是要增加权重W以及输入X的个数而已。

下边就可以看作是一个，含有两层的神经网络结构。

• 第一层节点： 11，12，13 。第二层节点： 21 。

• 输入： X1 ，X2 。 输出 ： Y 。

于是，根据公式：输出 等于 输入作用于 权重， 得出以下推导 ：

• 输入： X1 ，X2 。
• 节点11的值： .
• 节点12的值： .
• 节点13的值： .
• 节点21的值就是最终输出 Y ： .

所以，最终的整合式子为：

于是，我们可以发现，类似于这样的堆叠方式，我们可以组合成很多的数学函数。

1.03 总结

到目前为止你已经知道了神经网络的由来，并且知道神经网络与数学公式之间的关系。

此时你需要明确的知识点是：

• 人工智能就是使用已有的数据，拟合出一个可以用来预测未来的公式。
• 这个公式的系数需要一直调整，从而找出一组最为合适，正确率较高的系数。
• 因为系数的寻找需要大量的计算，所以需要将这个公式用神经网络表示出来的，因为在计算机中这样表示的时候计算最为方便。

2. 监督学习与无监督学习

监督学习：就是我们收集到的数据是有标签的。

然后接下来我们使用这些数据的时候，就可以使用已有标签的数据，去拟合出曲线，用以预测未来。

无监督学习：我们收集到的数据是无标签的。

如图所示，挖掘出数据内部的联系，让他自动归类。

3. 损失函数

这里介绍一些常见的几种损失函数，以供大家入门使用。

3.01. 一些前提

• 真实值：y ，他就是针对某一组输入x的真实标签。
• 预测值：f(x)，他就是针对输入x的预测标签。
• 样本数：m，他就是我们每次输入多少样本进行计算，比如：某一次输入5组x，得到5个预测结果，这里的m=5.

3.02. 绝对值损失函数

公式：

解释：

• J(y,f(x)) 的意思就是，这个损失函数的参数是：真是标签y 与 预测数据f(x) 。
• J(w,b)​ 的意思是，这个损失函数的目的是优化参数 w 与 b 。这里的w，b其实就是系数的矩阵形式。
• 后边具体的计算公式就是：输入有m个样本，计算出这m个样本的距离绝对值和，然后再求均值。

3.03 均方差损失函数

公式：

解释：

• 这里只是将绝对值换成了平方，除以m换成了除以2m。

3.04 交叉熵损失函数

标签：

在通常的分类问题中，标签y的取值一般只有 0 或 1 。

公式：

解释：

• 上边说了，y 与 f(x) 都只能取 1 与 0 中的一种可能性。所以，上述公式的效果就是：
• 如果 y与 f(x) 相同，则 J = 0.

• 如果 y与 f(x) 不同，则 J = 无穷大.

3.05 总结

到这里你已经学习了三种常见的损失函数。

此时你应该有一个明确的知识点就是：

• 损失函数是用来计算真实值与预测值之间距离的。
• 当损失函数的值越小就代表着真实值与预测值之间的距离就越小，也就意味着预测的越准。

4. 梯度下降

• 上边我们提到对数学函数优化的时候，只是介绍了理论的知识。

• 但是并没有带着大家深入探究如何优化。

其实，这里使用的数学知识就是 ：求偏导

4.01. 数学例子

• 场景引入

在数学题中我们经常用的方法就是：将函数f(x)对x求导，然后令导数式子为0，求出此时的x的值，即为最小值点的位置。

• 具体例子

对函数求导

令导函数为0，求出此时的x

此时，x = 3 即为函数 f(x) 的最小值点，带入原方程 f(3)= 2*9-12*3+20 = 2.

下边就分析一下这个过程的数学原理了

4.02. 数学例子原理

针对上边提到的方程的最小值求解，其实就是求出其梯度（导数）为0的位置，就是其最低点的位置。具体看下图：

• 方程 图像如下：

上边举的例子是一个比较简单的例子，方程中只有一个未知数，但是在真实情况中，往往一个方程有很多未知数。

• 比如：​

于是，在方程的每个点上，都有多个梯度方向，最终将这多个方向合并，形成这个点的最终梯度方向 （数据变小的方向）

4.03. 完整例子

假设此时的方程已知，并且根据方程绘制出的图像如下。

• 刚开始我们位于A点：

• 到达B点： （思路同上）

• ...重复上述过程：

• 到达K点：

这就是整个找最小点的可视化过程，但是其中提到更新的数学细节并没有提到，所以下边提一下用到的数学更新公式吧

4.04. 更新公式

变量定义：

• W ： 方程的权重。 （可以简单理解为方程变量前面的系数）
• b ：方程的偏差。 （可以简单理解为方程中的常数）

公式：

• 更新权重W：.

• 更新偏差：.

这就是更新参数的整个梯度下降过程了。

5. 总结

到目前为止，基础的人工智能知识已经基本讲完了，这个时候我们再来仔细品味这句话。

针对特定的任务，找出合适的数学表达式，然后一直优化表达式，直到这个表达式可以用来预测未来。

或许你就会有不一样的体会了。

ok，下一节就讲一讲Pytorch的基础使用，然后就是最终的手写体数字识别任务了。