已知f(x)连续 ∫ 0 x t f ( x − t ) d t = 1 − cos x , 求 ∫ 0 π 2 f ( x ) d x 的值。 \int_{0}^{x}tf(x-t)\,{\rm d}t=1-\cos x,求\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx的值。 ∫0xtf(x−t)dt=1−cosx,求∫02πf(x)dx的值。
已知一个关于f的变上限积分等式，（变上限积分函数的特点，求导比较容易）所以可以等式两边同时求导。
但是对于这个题目，不可以直接求导。在变上限函数中，t是积分变量，而x不是。
对于这类题目，有一个通用方法----做变量代换，把x-t换成变量u。
❗❗❗变量代换注意换上下限，下面容易出错！
令u=x-t <=> t=x-u
原式= ∫ 0 x ( x − u ) f ( u ) d u \int_{0}^{x}(x-u)f(u)du ∫0x(x−u)f(u)du
= x ∫ 0 x f ( u ) d u − ∫ 0 x u f ( u ) d u =x\int_{0}^{x}f(u)du-\int_{0}^{x}uf(u)du =x∫0xf(u)du−∫0xuf(u)du
对等式两边同时求导得，
∫ 0 x f ( u ) d u + x f ( x ) − x f ( x ) = sin x \int_{0}^{x}f(u)du+xf(x)-xf(x)=\sin x ∫0xf(u)du+xf(x)−xf(x)=sinx
即 ∫ 0 x f ( u ) d u = sin x \int_{0}^{x}f(u)du=\sin x ∫0xf(u)du=sinx
这时对等式两边再次同时求导，得
f ( x ) = cos x f(x)=\cos x f(x)=cosx
这时，题目要求的
∫ 0 π 2 f ( x ) d x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx ∫02πf(x)dx
= ∫ 0 π 2 cos x d x =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x dx =∫02πcosxdx
= sin x ∣ 0 π 2 = 1 =\sin x |_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1 =sinx∣02π=1