深度学习——第6章 浅层神经网络（NN）

6.1 神经网络模型概述

6.2 神经网络正向传播

6.3 神经网络反向传播

6.4 W和b的初始化

6.5 总结

上一课主要介绍了一些神经网络必备的基础知识，包括Sigmoid激活函数、损失函数、梯度下降和计算图。这些知识对学习神经网络非常有用。本节将开始真正的神经网络学习，从一个浅层的神经网络出发，详细推导其正向传播和反向传播完整过程。

6.1 神经网络模型概述

首先，我们来看一个简单的神经网络模型：

最简单的神经网络模型由输入层（Input Layer）、隐藏层（Hidden Layer）、输出层（Output Layer）组成，我们称之为2层神经网络。隐藏层和输出层都由个数不一的神经元组成。如上图所示，输入层有3个输入：x1、x2、x3，分别代表不同的输入特征。例如一张图片所有的像素值（当然不止3个）。一般地，输入层不标注 ◯ \bigcirc ◯，表示没有神经元。该神经网络模型隐藏层包含了4个神经元，输出层只有1个神经元。

需要特别注意的是，在解决二分类或者预测问题时，输出层神经元个数为1。如果是多分类问题，输出层就需要多个神经元。这里先介绍最简单的神经网络模型，多分类问题之后再详细介绍。

第1章已经介绍过单个神经元的结构：

单个神经元包含参数 W W W和 b b b，分别称之为权重系数（参数）和常数项。 W W W的维度与输入 x x x的维度相同， b b b是单个元素的标量。神经元整个计算过程分成两部分：线性计算和非线性计算。

我们来看上面的神经网络模型，输入层矩阵 x x x的维度是（3，1）。通常我们习惯把 X X X记为 a [ 0 ] a^{[0]} a[0]，上标[0]表示输入层。因为输入层没有神经元计算，所以用0标注。隐藏层有4个神经元，每个神经元均与 a [ 0 ] a^{[0]} a[0] 连接。因此，隐藏层的权重系数 W [ 1 ] W^{[1]} W[1]的维度是（4，3），注意这里的上标[1]表示隐藏层。隐藏层的常数项 b [ 1 ] b^{[1]} b[1]的维度是（4，1）。输出层只有1个神经元，与4个隐藏层神经元相连接。因此，输出层的权重
数 W [ 2 ] W^{[2]} W[2]的维度是（1，4），上标[2]表示输出层。同理，输出层常数项 b [ 2 ] b^{[2]} b[2]的维度是（1，1），即只有一个元素。

神经网络每次迭代训练由正向传播和反向传播两部分组成。正向传播就是训练样本数据通过输入层–>隐藏层–>输出层，经过各层神经元计算后得到预测值，预测值与真实样本标签误差产生损失函数。然后，再进行反向传播。为了让损失函数减小，利用梯度下降算法，更新权重系数 W W W和常数项 b b b。这样就完成了一次迭代训练。经过多次的迭代训练之后，通常能使损失函数逐渐减小，最终确定最优化时对应的 W W W和 b b b。这样，整个神经网络的训练过程就结束了。

6.2 神经网络正向传播

知道了输入 x x x，参数 W [ 1 ] W^{[1]} W[1]、 b [ 1 ] b^{[1]} b[1]、 W [ 2 ] W^{[2]} W[2]、 b [ 2 ] b^{[2]} b[2]的维度之后，接下来重点推导一下神经网络的正向传播过程。

6.2.1 网络输出

从输入层到隐藏层，h1、h2、h3、h4神经元计算分为线性部分和非线性部分，整个过程可以写成：

z 1 [ 1 ] = W 1 [ 1 ] x + b 1 [ 1 ] ,    a 1 [ 1 ] = g ( z 1 [ 1 ] ) z_1^{[1]}=W_1^{[1]}x+b_1^{[1]},\ \ a_1^{[1]}=g(z_1^{[1]}) z1[1]​=W1[1]​x+b1[1]​,  a1[1]​=g(z1[1]​)

z 2 [ 1 ] = W 2 [ 1 ] x + b 2 [ 1 ] ,    a 2 [ 1 ] = g ( z 2 [ 1 ] ) z_2^{[1]}=W_2^{[1]}x+b_2^{[1]},\ \ a_2^{[1]}=g(z_2^{[1]}) z2[1]​=W2[1]​x+b2[1]​,  a2[1]​=g(z2[1]​)

z 3 [ 1 ] = W 3 [ 1 ] x + b 3 [ 1 ] ,    a 3 [ 1 ] = g ( z 3 [ 1 ] ) z_3^{[1]}=W_3^{[1]}x+b_3^{[1]},\ \ a_3^{[1]}=g(z_3^{[1]}) z3[1]​=W3[1]​x+b3[1]​,  a3[1]​=g(z3[1]​)

z 4 [ 1 ] = W 4 [ 1 ] x + b 4 [ 1 ] ,    a 4 [ 1 ] = g ( z 4 [ 1 ] ) z_4^{[1]}=W_4^{[1]}x+b_4^{[1]},\ \ a_4^{[1]}=g(z_4^{[1]}) z4[1]​=W4[1]​x+b4[1]​,  a4[1]​=g(z4[1]​)

其中，下标表示第几个神经元。例如 z j [ l ] z_j^{[l]} zj[l]​就表示第 l l l层的第 j j j个神经元。注意， j j j从1开始， l l l从0开始。 z j [ l ] z_j^{[l]} zj[l]​是线性输出， a j [ l ] a_j^{[l]} aj[l]​是非线性输出， g ( ⋅ ) g(\cdot) g(⋅)表示激活函数。关于激活函数，稍后详细介绍。

从隐藏层到输出层，只有一个out神经元。注意此时神经元的输入不是 x x x，而是隐藏层的输出 a [ 1 ] a^{[1]} a[1]。整个过程为：

z 1 [ 2 ] = W 1 [ 2 ] a [ 1 ] + b 1 [ 2 ] ,    a 1 [ 2 ] = g ( z 1 [ 2 ] ) z_1^{[2]}=W_1^{[2]}a^{[1]}+b_1^{[2]},\ \ a_1^{[2]}=g(z_1^{[2]}) z1[2]​=W1[2]​a[1]+b1[2]​,  a1[2]​=g(z1[2]​)

为了提高程序运算速度，我们利用之前介绍的向量化思想，将上述表达式转换成矩阵运算的形式：

z [ 1 ] = W [ 1 ] x + b [ 1 ] z^{[1]}=W^{[1]}x+b^{[1]} z[1]=W[1]x+b[1]

a [ 1 ] = g ( z [ 1 ] ) a^{[1]}=g(z^{[1]}) a[1]=g(z[1])

z [ 2 ] = W [ 2 ] a [ 1 ] + b [ 2 ] z^{[2]}=W^{[2]}a^{[1]}+b^{[2]} z[2]=W[2]a[1]+b[2]

a [ 2 ] = g ( z [ 2 ] ) a^{[2]}=g(z^{[2]}) a[2]=g(z[2])

以上介绍的是单个样本的正向传输过程，如果有m个样本，则输入X的维度为（3，m）。最简单的可以使用for循环来计算其正向输出。这里，我们用上标(i)表示第i个样本。过程如下：

for i=1 to m:

Z [ 1 ] ( i ) = W [ 1 ] X ( i ) + b [ 1 ] Z^{[1](i)}=W^{[1]}X^{(i)}+b^{[1]} Z[1](i)=W[1]X(i)+b[1]

A [ 1 ] ( i ) = g ( Z [ 1 ] ( i ) ) A^{[1](i)}=g(Z^{[1](i)}) A[1](i)=g(Z[1](i))

Z [ 2 ] ( i ) = W [ 2 ] A [ 1 ] ( i ) + b [ 2 ] Z^{[2](i)}=W^{[2]}A^{[1](i)}+b^{[2]} Z[2](i)=W[2]A[1](i)+b[2]

A [ 2 ] ( i ) = g ( Z [ 2 ] ( i ) ) A^{[2](i)}=g(Z^{[2](i)}) A[2](i)=g(Z[2](i))

这里，X、Z、A都采用大写的形式，表示矩阵。 Z [ 1 ] Z^{[1]} Z[1]和 A [ 1 ] A^{[1]} A[1]的维度为（4，m）， Z [ 2 ] Z^{[2]} Z[2]和 A [ 2 ] A^{[2]} A[2]的维度为（1，m）。对这四个矩阵均可以这样理解：行表示第几个神经元，列表示样本数目m。

不使用for循环，直接采用矩阵运算的形式，可得：

Z [ 1 ] = W [ 1 ] X + b [ 1 ] Z^{[1]}=W^{[1]}X+b^{[1]} Z[1]=W[1]X+b[1]

A [ 1 ] = g ( Z [ 1 ] ) A^{[1]}=g(Z^{[1]}) A[1]=g(Z[1])

Z [ 2 ] = W [ 2 ] A [ 1 ] + b [ 2 ] Z^{[2]}=W^{[2]}A^{[1]}+b^{[2]} Z[2]=W[2]A[1]+b[2]

A [ 2 ] = g ( Z [ 2 ] ) A^{[2]}=g(Z^{[2]}) A[2]=g(Z[2])

这样，我们就完整地计算了神经网络模型的正向传播过程。有时候，为了便于理解， X X X也可以用 A [ 0 ] A^{[0]} A[0]表示。

6.2.2 激活函数

神经网络每个神经元都需要激活函数（Activation Function）来进行非线性运算。在上一篇中介绍的逻辑回归模型使用的Sigmoid函数，也是一种激活函数。下面重点介绍几个神经网络常用的激活函数 g ( x ) g(x) g(x)，并作简单比较。

（1）Sigmoid函数

函数表达式为：

a = 1 1 + e − z a=\frac{1}{1+e^{-z}} a=1+e−z1​

（2）tanh函数

函数表达式为：

a = e z − e − z e z + e − z a=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}} a=ez+e−zez−e−z​

（3）ReLU函数

函数表达式为：

a = m a x ( 0 , z ) a = max(0,z) a=max(0,z)

（4）Leaky ReLU函数

函数表达式为：

a = { λ z , z ⩽ 0 z , z > 0 a=\left\{\begin{array}{cc} \lambda z, & z\leqslant0\\ z, & z> 0 \end{array}\right. a={λz,z,​z⩽0z>0​

其中， λ \lambda λ为可变参数，一般 λ ∈ ( 0 , 1 ) \lambda\in(0,1) λ∈(0,1)，例如 λ = 0.01 \lambda=0.01 λ=0.01。

介绍完了这些常用的激活函数之后，考虑如何选择合适的激活函数呢？首先我们来比较Sigmoid函数和tanh函数。对于隐藏层的激活函数，一般来说，tanh函数要比Sigmoid函数表现更好一些。因为tanh函数的取值范围在（-1，+1），即隐藏层的输出被限定在（-1，+1）之间，可以看成是在0值附近分布，均值为0。这样从隐藏层到输出层，数据起到了归一化（均值为0）的效果。因此，隐藏层的激活函数，tanh比Sigmoid更好一些。而对于输出层的激活函数，因为二分类问题的输出取值为[0, 1]之间，所以一般会选择Sigmoid作为激活函数。

观察Sigmoid函数和tanh函数，我们发现有这样一个问题，就是当 ∣ z ∣ |z| ∣z∣很大的时候，激活函数的斜率（梯度）很小。因此，在这个区域内，梯度下降算法会运行得比较慢。在实际应用中，应尽量避免使z落在这个区域，使 ∣ z ∣ |z| ∣z∣尽可能限定在零值附近，从而提高梯度下降算法运算速度。

为了弥补Sigmoid函数和tanh函数的这个缺陷，就出现了ReLU激活函数。ReLU激活函数在 z z z大于零时梯度始终为1；在 z z z小于零时梯度始终为0； z z z等于零时的梯度可以当成1也可以当成0，实际应用中并不影响。对于隐藏层，选择ReLU作为激活函数能够保证 z z z大于零时梯度始终为1，从而提高神经网络梯度下降算法运算速度。但当 z z z小于零时，存在梯度为0的缺点。实际应用中，这个缺点影响不是很大，但为了弥补这个缺点，出现了Leaky ReLU激活函数，能够保证 z z z小于零时梯度不为0。

值得注意的是，如果是二分类问题，输出层可以使用Sigmoid激活函数。如果是预测问题，输出层则可以不需要使用激活函数，因为预测值一般在整个实数范围之间。又或者，如果输出值总是正数，例如房价预测问题，则可以使用ReLU激活函数。

因此，是否使用激活函数，使用哪个激活函数，并不是固定不变的，需要根据问题本身进行考量和判断，做到活学活用，真正理解。本文为了简化内容，仅仅以二分类为例，介绍神经网络的基本模型。更复杂的情况，后面的章节将会详细介绍。

有的人可能会有疑问：为什么每个神经元需要非线性单元，需要激活函数？以上面这个神经网络模型为例，我们来看如果没有激活函数，模型最后的输出是什么。

假设没有激活函数，则有 A = Z A = Z A=Z。那么，神经网络的各层输出为：

Z [ 1 ] = W [ 1 ] X + b [ 1 ] Z^{[1]}=W^{[1]}X+b^{[1]} Z[1]=W[1]X+b[1]

A [ 1 ] = Z [ 1 ] A^{[1]}=Z^{[1]} A[1]=Z[1]

Z [ 2 ] = W [ 2 ] A [ 1 ] + b [ 2 ] Z^{[2]}=W^{[2]}A^{[1]}+b^{[2]} Z[2]=W[2]A[1]+b[2]

A [ 2 ] = Z [ 2 ] A^{[2]}=Z^{[2]} A[2]=Z[2]

直接对 A [ 2 ] A^{[2]} A[2]表达式展开：

A [ 2 ] = W [ 2 ] A [ 1 ] + b [ 2 ] = W [ 2 ] ( W [ 1 ] X + b [ 1 ] ) + b [ 2 ] = ( W [ 2 ] W [ 1 ] X ) + ( W [ 2 ] b [ 1 ] + b [ 2 ] ) = W ′ X + b ′ A^{[2]}=W^{[2]}A^{[1]}+b^{[2]}=W^{[2]}(W^{[1]}X+b^{[1]})+b^{[2]}\\=(W^{[2]}W^{[1]}X)+(W^{[2]}b^{[1]}+b^{[2]})=W'X+b' A[2]=W[2]A[1]+b[2]=W[2](W[1]X+b[1])+b[2]=(W[2]W[1]X)+(W[2]b[1]+b[2])=W′X+b′

经过推导，发现 A [ 2 ] A^{[2]} A[2]仍是输入变量 X X X的线性组合。这表明，使用神经网络与直接使用线性模型的效果并没有什么两样。即便是包含多层隐藏层的神经网络，如果不使用非线性激活函数，最终的输出仍然是输入 X X X的线性模型。这样的话神经网络就没有任何作用了。另外，如果只有输出层使用非线性激活函数，那么整个神经网络的结构就类似于一个简单的逻辑回归模型，而失去了神经网络模型本身的优势和价值。因此，隐藏层一般必须使用非线性激活函数。

6.3 神经网络反向传播

神经网络正向传播最终得到的输出 Y ^ = A [ 2 ] \hat Y=A^{[2]} Y^=A[2]。因为是二分类问题，其损失函数与逻辑回归模型一样，在上一篇已经推导过逻辑回归模型的损失函数：

L = − [ y l o g y ^ + ( 1 − y ) l o g ( 1 − y ^ ) ] L=-[ylog\hat y+(1-y)log(1-\hat y)] L=−[ylogy^​+(1−y)log(1−y^​)]

对于 m m m个样本的损失函数为：

J = − 1 m ∑ i = 1 m y ( i ) l o g y ^ ( i ) + ( 1 − y ( i ) ) l o g ( 1 − y ^ ( i ) ) J=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^my^{(i)}log\hat y^{(i)}+(1-y^{(i)})log(1-\hat y^{(i)}) J=−m1​i=1∑m​y(i)logy^​(i)+(1−y(i))log(1−y^​(i))

接下来，我们来计算损失函数 J J J对各个变量 A [ 2 ] A^{[2]} A[2]， Z [ 2 ] Z^{[2]} Z[2]， W [ 2 ] W^{[2]} W[2]， b [ 2 ] b^{[2]} b[2]， A [ 1 ] A^{[1]} A[1]， Z [ 1 ] Z^{[1]} Z[1]， W [ 1 ] W^{[1]} W[1]， b [ 1 ] b^{[1]} b[1]的偏导数。

J J J对 A [ 2 ] A^{[2]} A[2]求偏导数：

d A [ 2 ] = ∂ J ∂ A [ 2 ] = A [ 2 ] − Y A [ 2 ] ( 1 − A [ 2 ] ) dA^{[2]}=\frac{\partial J}{\partial A^{[2]}}=\frac{A^{[2]}-Y}{A^{[2]}(1-A^{[2]})} dA[2]=∂A[2]∂J​=A[2](1−A[2])A[2]−Y​

J J J对 Z [ 2 ] Z^{[2]} Z[2]求偏导数：

d Z [ 2 ] = d A [ 2 ] ⋅ ∂ A [ 2 ] ∂ Z [ 2 ] dZ^{[2]}=dA^{[2]}\cdot\frac{\partial A^{[2]}}{\partial Z^{[2]}} dZ[2]=dA[2]⋅∂Z[2]∂A[2]​

这里，若使用Sigmoid激活函数，它的导数为：

g ( z ) ′ = a ( 1 − a ) g(z)'=a(1-a) g(z)′=a(1−a)

则有：

∂ A [ 2 ] ∂ Z [ 2 ] = A [ 2 ] ( 1 − A [ 2 ] ) \frac{\partial A^{[2]}}{\partial Z^{[2]}}=A^{[2]}(1-A^{[2]}) ∂Z[2]∂A[2]​=A[2](1−A[2])

将其带入 d Z [ 2 ] dZ^{[2]} dZ[2]中，得：

d Z [ 2 ] = A [ 2 ] − Y A [ 2 ] ( 1 − A [ 2 ] ) ⋅ A [ 2 ] ( 1 − A [ 2 ] ) = A [ 2 ] − Y dZ^{[2]}=\frac{A^{[2]}-Y}{A^{[2]}(1-A^{[2]})}\cdot A^{[2]}(1-A^{[2]})=A^{[2]}-Y dZ[2]=A[2](1−A[2])A[2]−Y​⋅A[2](1−A[2])=A[2]−Y

发现 d Z [ 2 ] dZ^{[2]} dZ[2]的表达式是不是很简单呢？

J 对 W [ 2 ] J对W^{[2]} J对W[2]求偏导数：

d W [ 2 ] = 1 m d Z [ 2 ] ⋅ ∂ Z [ 2 ] ∂ W [ 2 ] = 1 m d Z [ 2 ] ⋅ A [ 1 ] T dW^{[2]}=\frac1m dZ^{[2]}\cdot\frac{\partial Z^{[2]}}{\partial W^{[2]}}=\frac1m dZ^{[2]}\cdot A^{[1]T} dW[2]=m1​dZ[2]⋅∂W[2]∂Z[2]​=m1​dZ[2]⋅A[1]T

其中， A [ 1 ] T A^{[1]T} A[1]T表示 A [ 1 ] A^{[1]} A[1]的转置。

J 对 b [ 2 ] J对b^{[2]} J对b[2] 求偏导数：

d b [ 2 ] = 1 m n p . s u m ( d Z [ 2 ] ,    a x i s = 1 ) db^{[2]}=\frac1mnp.sum(dZ^{[2]},\ \ axis=1) db[2]=m1​np.sum(dZ[2],  axis=1)

这里的np.sum()是Python Numpy中的求和函数，参数axis = 0表示矩阵行相加，axis = 1表示矩阵列相加。

J J J对 A [ 1 ] A^{[1]} A[1]求偏导数：

d A [ 1 ] = d Z [ 2 ] ⋅ ∂ Z [ 2 ] ∂ A [ 1 ] = W [ 2 ] T ⋅ d Z [ 2 ] dA^{[1]}=dZ^{[2]}\cdot\frac{\partial Z^{[2]}}{\partial A^{[1]}}=W^{[2]T}\cdot dZ^{[2]} dA[1]=dZ[2]⋅∂A[1]∂Z[2]​=W[2]T⋅dZ[2]

J 对 Z [ 1 ] J对Z^{[1]} J对Z[1]求偏导数：

d Z [ 1 ] = d A [ 1 ] ⋅ ∂ A [ 1 ] ∂ Z [ 1 ] = d A [ 1 ] ∗ g [ 1 ] ′ ( Z [ 1 ] ) = W [ 2 ] T ⋅ d Z [ 2 ] ∗ g [ 1 ] ′ ( Z [ 1 ] ) dZ^{[1]}=dA^{[1]}\cdot\frac{\partial A^{[1]}}{\partial Z^{[1]}}=dA^{[1]}*g^{[1]'}(Z^{[1]})=W^{[2]T}\cdot dZ^{[2]}*g^{[1]'}(Z^{[1]}) dZ[1]=dA[1]⋅∂Z[1]∂A[1]​=dA[1]∗g[1]′(Z[1])=W[2]T⋅dZ[2]∗g[1]′(Z[1])

其中， g [ 1 ] ′ ( Z [ 1 ] ) g^{[1]'}(Z^{[1]}) g[1]′(Z[1])表示 A [ 1 ] A^{[1]} A[1]对 Z [ 1 ] Z^{[1]} Z[1]的导数。上式中的*号表示两个矩阵对应元素相乘， ⋅ \cdot ⋅表示矩阵相乘。

J J J对 W [ 1 ] W^{[1]} W[1]求偏导数：

d W [ 1 ] = d Z [ 1 ] ⋅ ∂ Z [ 1 ] ∂ W [ 1 ] = 1 m d Z [ 1 ] ⋅ A [ 0 ] T dW^{[1]}=dZ^{[1]}\cdot\frac{\partial Z^{[1]}}{\partial W^{[1]}}=\frac1mdZ^{[1]}\cdot A^{[0]T} dW[1]=dZ[1]⋅∂W[1]∂Z[1]​=m1​dZ[1]⋅A[0]T

J J J对 b [ 1 ] b^{[1]} b[1]求偏导数：

d b [ 1 ] = 1 m n p . s u m ( d Z [ 1 ] ,    a x i s = 1 ) db^{[1]}=\frac1mnp.sum(dZ^{[1]},\ \ axis=1) db[1]=m1​np.sum(dZ[1],  axis=1)

好了，我们已经完整地推导了神经网络反向传播过程。

我把正向传播和反向传播涉及的公式全都整理出来，以供查阅：

计算完 W W W和 b b b的导数之后，利用上一篇介绍过的梯度下降算法，更新 W W W和 b b b：

W [ 1 ] = W [ 1 ] − η ⋅ d W [ 1 ] W^{[1]}=W^{[1]}-\eta\cdot dW^{[1]} W[1]=W[1]−η⋅dW[1]

b [ 1 ] = b [ 1 ] − η ⋅ d b [ 1 ] b^{[1]}=b^{[1]}-\eta\cdot db^{[1]} b[1]=b[1]−η⋅db[1]

W [ 2 ] = W [ 2 ] − η ⋅ d W [ 2 ] W^{[2]}=W^{[2]}-\eta\cdot dW^{[2]} W[2]=W[2]−η⋅dW[2]

b [ 2 ] = b [ 2 ] − η ⋅ d b [ 2 ] b^{[2]}=b^{[2]}-\eta\cdot db^{[2]} b[2]=b[2]−η⋅db[2]

其中， η \eta η是学习因子。

6.4 W和b的初始化

神经网络模型在开始训练时需要对各层权重系数 W W W和常数项 b b b进行初始化赋值。初始化赋值时， b b b一般全部初始化为0即可，但是 W W W不能全部初始化为0。接下来我们来分析一下原因。

还是上面的神经网络模型，如果 W [ 1 ] W^{[1]} W[1]和 W [ 2 ] W^{[2]} W[2]全部初始化为0，即：

W [ 1 ] = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] W^{[1]}= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] W[1]= ​000​000​000​000​ ​

W [ 2 ] = [ 0 0 0 0 ] W^{[2]}= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] W[2]=[0​0​0​0​]

这样使得隐藏层四个神经元的输出都相同，即：

A 1 [ 1 ] = A 2 [ 1 ] = A 3 [ 1 ] = A 4 [ 1 ] A_1^{[1]}=A_2^{[1]}=A_3^{[1]}=A_4^{[1]} A1[1]​=A2[1]​=A3[1]​=A4[1]​

经过推导得到：

d Z 1 [ 1 ] = d Z 2 [ 1 ] = d Z 3 [ 1 ] = d Z 4 [ 1 ] dZ_1^{[1]}=dZ_2^{[1]}=dZ_3^{[1]}=dZ_4^{[1]} dZ1[1]​=dZ2[1]​=dZ3[1]​=dZ4[1]​

以及：

d W 1 [ 1 ] = d W 2 [ 1 ] = d W 3 [ 1 ] = d W 4 [ 1 ] dW_1^{[1]}=dW_2^{[1]}=dW_3^{[1]}=dW_4^{[1]} dW1[1]​=dW2[1]​=dW3[1]​=dW4[1]​

因此，隐藏层四个神经元对应的权重行向量 W 1 [ 1 ] W_1^{[1]} W1[1]​、 W 2 [ 1 ] W_2^{[1]} W2[1]​、 W 3 [ 1 ] W_3^{[1]} W3[1]​、 W 4 [ 1 ] W_4^{[1]} W4[1]​每次迭代更新都会得到完全相同的结果。也就是说，始终有：

W 1 [ 1 ] = W 2 [ 1 ] = W 3 [ 1 ] = W 4 [ 1 ] W_1^{[1]}=W_2^{[1]}=W_3^{[1]}=W_4^{[1]} W1[1]​=W2[1]​=W3[1]​=W4[1]​

这样隐藏层设置多个神经元就没有任何意义了。

所以，一般对 W W W进行随机初始化。相应的Python语句为：

W1 = np.random.randn((4,3))*0.01
b1 = np.zero((4,1))
W2 = np.random.randn((1,4))*0.01
b2 = 0    

值得注意的是，W1和W2都习惯性地乘以0.01。究其原因，是因为如果使用Sigmoid或者tanh作为激活函数的话， W W W比较小，得到的 ∣ Z ∣ |Z| ∣Z∣也比较小（零点附近），而零点附近区域的梯度比较大，这样能大大提高梯度下降算法的更新速度，尽快找到全局最优解。如果 W W W较大，得到的 ∣ Z ∣ |Z| ∣Z∣也比较大，接近曲线平缓区域，梯度很小，更新速度慢，训练过程也会慢很多。当然，如果使用ReLU或者Leaky ReLU，则可以不乘以0.01。

6.5 总结

本文主要介绍了最简单的2层神经网络模型，详细推导其正向传播过程和反向传播过程，得到了各权重系数W和常数项b的导数表达式。我们也列举了常见的四种激活函数，分析各自的优缺点。最后，简单解释了参数初始化的方法和注意事项。